2016年上海卷理科数学第17题(选择倒数第二题)

已知无穷等比数列$\left\{a_n\right\} $的公比为$q$,前$n$项和为$S_n$,且$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$.下列条件中,使得$2S_n<S \left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $恒成立的是(        )

A.$a_1>0,0.6<q<0.7$

B.$a_1<0,-0.7<q<-0.6$

C.$a_1>0,0.7<q<0.8$

D.$a_1<0,-0.8<q<-0.7$


 B.

由题意,$-1<q<1 \land q\ne 0,\ S=\dfrac{a_1}{1-q} $,若$2S_n<S \left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $恒成立,则$$2a_1 \left(1-q^n\right)<a_1\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)  $$恒成立,其中$a_1\ne 0$.

(1)若$a_1>0$,则$$2\left(1-q^n\right)<1\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)  $$恒成立,在上式两边同时令$n\to \infty$,由数列极限的保序性,我们有$2 \leqslant 1$,矛盾.

(2)若$a_1<0$,则$$2\left(1-q^n\right)>1\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)  $$恒成立,即$$q^n<\dfrac{1}{2} \left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $$恒成立,而这又等价于$$q<\dfrac 12\land q^2<\dfrac{1}{2}. $$

综合(1)(2)可知,$a_1<0$,且$-\dfrac{\sqrt{2} }{2}<q<\dfrac 12 $($q\neq 0$),所以选B.

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