每日一题[507]反客为主

已知$x-4\sqrt y=2\sqrt{x-y}$,则$x$的取值范围是_______.


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分析    观察题目,可以发现$2\sqrt{x-y}+4\sqrt y=x$,而左边可以看成是向量$(2,4)$与向量$(\sqrt{x-y},\sqrt y)$的数量积,且后者的模为$x$.以此为突破口,视$y$为变量建立不等关系.

   显然$x=0$时符合题意;

当$x>0$时,考虑到向量$(\sqrt{x-y},\sqrt y)$的模为定值$\sqrt x$,因此以原点为起点,向量$(\sqrt{x-y},\sqrt y)$的终点是以原点为圆心,$\sqrt x$为半径的圆在第一象限的部分(再加上弧的两个端点).

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不难得到数量积$$(2,4)\cdot (\sqrt{x-y},\sqrt y)$$的取值范围是$$(2,4)\cdot (\sqrt x,0)\leqslant (2,4)\cdot (\sqrt{x-y},\sqrt y)\leqslant \sqrt x\cdot\sqrt {20},$$这样就建立了不等式$$2\sqrt x\leqslant x\leqslant \sqrt{20x},$$解得$$4\leqslant x\leqslant 20.$$

综上所述,$x$的取值范围是$\{0\}\cup [4,20]$.

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