Math173

设数列$A:a_1,a_2,\cdots,a_N \left(N \geqslant 2\right) $．如果对小于$n \left(2 \leqslant n \leqslant N\right) $的每个正整数$k$都有$a_k<a_n$，则称$n$是数列$A$的一个“$G$时刻”．记$G(A)$是数列$A$的所有“$G$时刻”组成的集合．

(1)对数列$A:-2,2,-1,1,3$，写出$G(A)$的所有元素；

(2)证明：若数列$A$中存在$a_n$使得$a_n>a_1$，则$G(A)\ne \varnothing $；

(3)证明：若数列$A$满足$a_n-a_{n-1}\leqslant 1\left(n=2,3,\cdots,N\right) $，则$G(A)$的元素个数不小于$a_N-a_1$．

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平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率是$\dfrac{\sqrt 3}{2}$，抛物线$E:x^2=2y$的焦点$F$是$C$的一个顶点．

(1) 求椭圆$C$的方程；

(2) 设$P$是$E$上的动点，且位于第一象限，$E$在点$P$处的切线$l$与$C$交于不同的两点$A,B$，线段$AB$的中点为$D$，直线$OD$与过$P$且垂直于$x$轴的直线交于点$M$．

(i) 求证：点$M$在定直线上；

(ii) 直线$l$与$y$轴交于点$G$，记$\triangle PFG$的面积为$S_1$，$\triangle PDM$的面积为$S_1$，求$\dfrac{S_1}{S_2}$的最大值及取得最大值时点$P$的坐标．

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已知$f(x)=a(x-\ln x)+\dfrac{2x-1}{x^2}$，$a\in\mathcal R$．

(1) 讨论$f(x)$的单调性；

(2) 当$a=1$时，证明：$f(x)>f'(x)+\dfrac 32$对于任意的$x\in [1,2]$成立．

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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点．直线$l:y=-x+3$与椭圆$E$有且只有一个公共点$T$．

(1) 求椭圆$E$的方程及点$T$的坐标；

(2) 设$O$是坐标原点，直线$l'$平行于$OT$，与椭圆$E$交于不同的两点$A,B$，且与直线$l$交于点$P$．证明：存在常数$\lambda$，使得$|PT|^2=\lambda |PA|\cdot |PB|$，并求$\lambda$的值．

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设函数$f(x)=ax^2-a-\ln x$，其中$a\in\mathcal R$．

(1) 讨论$f(x)$的单调性；

(2) 确定$a$的所有可能取值，使得$f(x)>\dfrac 1x-{\rm e}^{1-x}$在区间$(1,+\infty)$内恒成立．

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设函数$f(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx$，曲线$y=f(x)$在点$\left(2,f(2)\right)$处的切线方程为$y=(\mathrm{e}-1)x+4$．

(1)求$a,b$的值；

(2)求$f(x)$的单调区间．

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已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$A(a,0),\ B(0,b),\ O(0,0)$，$\triangle{OAB}$的面积为$1$．

(1)求椭圆$C$的方程；

(2)设$P$是椭圆$C$上一点，直线$PA$与$y$轴交于点$M$，直线$PB$与$x$轴交于点$N$．求证：$\left|AN\right|\cdot\left|BM\right|$为定值．

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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}t+\dfrac{y^2}3=1$的焦点在$x$轴上，$A$是$E$的左顶点，斜率为$k$($k>0$)的直线交$E$于$A,M$两点，点$N$在$E$上，$MA\perp NA$．

(1) 当$t=4$，$|AM|=|AN|$时，求$\triangle AMN$的面积；

(2) 当$2|AM|=|AN|$时，求$k$的取值范围．

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