已知函数$f(x)=\begin{cases} ax^2+x,&x\geqslant 0,\\ -ax^2+x,&x<0,\end{cases} $当$x\in\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$时恒有$f(x+a)<f(x)$，则实数$a$的取值范围是________．
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每日一题[558]轨迹问题
已知直线$l:y=kx$与圆$C:x^2+(y-4)^2=4$相交于$M,N$两点．
(1) 求$k$的取值范围；
(2) 若点$Q$在线段$MN$上，且满足$\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$，求点$Q$的轨迹方程．
问题征解[27]代数不等式（已解决）
已知$x_1,x_2,\cdots ,x_n>0$，求证：$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{2}{x_1+x_2}+\cdots +\dfrac{n}{x_1+x_2+\cdots +x_n}<4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots +\dfrac{1}{x_n}\right).$$
每日一题[557]横看成岭侧成峰
已知函数$f(x)=3ax^2+2bx+(b-a)$，求证：$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点．
每日一题[556]忽明忽暗
有编号为$1,2,3,\cdots ,100$的$100$盏灯和编号为$1,2,3,\cdots ,100$的$100$个操作员．$100$盏灯初始时都是关闭的，$100$个操作员顺次操作，其中编号为$k$的操作员把所有编号为$k$的倍数的灯改变状态，如编号为$3$的操作员把编号为$3,6,9,\cdots ,99$的灯中关闭的灯打开，打开的灯关闭．那么最后亮着的灯有多少盏？ 继续阅读
每日一题[555]倒挂金钟
已知函数$f(x)=\dfrac{2ax+a^2-1}{x^2+1}$在区间$[0,+\infty)$上既有最大值，又有最小值，则$a$的取值范围是______．
元素个数与容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，我们采取一种新的计数方式，基本想法是：先不考虑重叠情况，把所有包含在其中的部分的元素个数全部计算出来，再把重复计算的数目排除出去，使得计算的结果不重不漏，这种计数方法称为容斥原理．比如，为了统计某班语文成绩或数学成绩在$100$分以上的学生人数，我们可以先计算所有语文成绩在$100$分以上的，再计算所有数学成绩在$100$分以上的，重复计算的部分是语文与数学成绩都在$100$分以上的，所以减去这部分的学生人数就可以得到结果．
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练习题集[59]基础练习
1、已知数列$\{a_n\}$的通项$a_n=\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}$，$n\in\mathcal N^*$，若$a_1+a_2+\cdots +a_{2015}<1$，则实数$x$可以是（ ）
A．$-\dfrac 32$
B．$-\dfrac{5}{12}$
C．$-\dfrac{9}{40}$
D．$-\dfrac{11}{60}$
每日一题[554]函数方程
已知函数$f(x)=x^2-2x+c$，若$\{x\mid f(x)=x\}=\{x\mid f(f(x))=x\}$，求实数$c$的取值范围． 继续阅读