在$\triangle ABC$中，$AB=2$，$AC=3$，角$A$的平分线$AD$与$AB$边上的中线$CM$的交点为$O$，若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则$x+y=$_______．
在上周那篇我们看到了参数分离带来的好处，但是对于有些问题来说，参数分离无法奏效，比如参数不容易分离出来或者分离参数后的函数很难处理．此时，可以直接去处理含参的函数，为了得到含参函数的最值，往往需要对参数进行分类，去讨论单调性与最值．
裂项求和法是将需要求和的数列$\{a_n\}$中的每一项拆成两项之差，如$$a_n=b_{n+1}-b_n,$$从而在求$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$时，利用拆项后的中间项相互抵消，剩下首尾的几项，从而得到$S_n$的表达式，即$$S_n=\sum_{k=1}^n{a_k}=\sum_{k=1}^n(b_{k+1}-b_k)=b_{n+1}-b_1.$$我们最常见的裂项形式有：
已知函数$f(x)=\ln x+\dfrac a{x+1}$，若$f(x)$为单调递增函数，试讨论关于$x$的方程$f(x)=x^2-2x+3$的解的个数．
已知某含参的函数不等式恒成立，求参数的取值范围是高中一类常见的问题．对于这类问题的处理，有两种常见的思路：一种是分离参数，再去求分离后得到的不含参函数的最值；另一种是不分离参数，直接去处理这个函数．很多问题两种思路的处理难度上差别不大，也有些问题其中一种思路明显优于另一种思路（甚至只有一种思路可以行得通），需要大家解题时先观察判断，解完题多思考总结．我们今天先来看看适合参数分离的问题．比如：
已知不等式$x\ln x\geqslant kx-1$恒成立，求$k$的取值范围．
在矩形$ABCD$中，$AB=2$，$AD=4$，点$E$在线段$AD$上且$AE=3$，现分别沿$BE,CE$将$\triangle ABE,\triangle DCE$翻折，使点$D$落在线段$AE$上记为$D'$，则此时二面角$D'-EC-B$的余弦值为_______．
裂项求和是数列求和的一种重要方法．但由于对等差数列求和的倒序相加法和对等比数列（差比数列）的错位相减法的深（根）入（深）人（蒂）心（固），会很容易忽略裂项求和也可以应用于这些基本数列的求和．特别是用在差比数列求和问题上，可以大大地简化运算．
已知正数数列$\{a_n\}$的前$n$项和与前$n$项积始终相等，求证：$1<a_{n+1}<a_n\leqslant 1+\dfrac 1n$($n\geqslant 3$)．
在导数中，我们经常遇到这样的问题，题目条件给出一个与$f(x)$与$f'(x)$都相关的函数不等式，要解决某些与该函数相关的不等式问题，如
定义在$\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$上的函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且恒有$f(x)\cdot\tan x<f'(x)$成立，则（ ）
A．$\sqrt 3f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )>\sqrt 2f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )$
B．$f(1)<2f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )\sin 1$
C．$\sqrt 2f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )>f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )$
D．$\sqrt 3f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )<f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )$
在$\triangle ABC$中，$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，$M$为$AB$边上一点，$P$为直线$CM$上一点，且$\overrightarrow{CP}=\dfrac{\overrightarrow{CA}}{b\cos A}+\dfrac{\overrightarrow{CB}}{a\cos B}$，又已知$\left|\overrightarrow{CM}\right|=\dfrac c2$，$a^2+b^2=2\sqrt 2ab$，求$C$．
