练习题集[59]基础练习

1、已知数列$\{a_n\}$的通项$a_n=\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots (nx+1)}$,$n\in\mathcal N^*$,若$a_1+a_2+\cdots +a_{2015}<1$,则实数$x$可以是(  )

A.$-\dfrac 32$

B.$-\dfrac{5}{12}$

C.$-\dfrac{9}{40}$

D.$-\dfrac{11}{60}$

2、已知平面向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow e$满足$|\overrightarrow e|=1$,$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e=1$,$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e=2$,$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$,则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的最小值为_______.

3、已知$M(3,2)$,点$P$在$y$轴上运动,点$Q$在圆$C:(x-1)^2+(y+2)^2=4$上运动,则$\overrightarrow {MP}+\overrightarrow {MQ}$的长度的最小值是_______.

4、过抛物线$y^2=2px$($p>0$)的焦点$F$,斜率为$1$的直线交抛物线于$A,B$两点.$AB$的垂直平分线过点$(0,2)$,$M$是抛物线上的动点,则$M$到直线$l_1:5x-4y+4=0$和$l_2:x=-\dfrac 25$的距离之和的最小值为_______.

5、已知$x,y>0$,$x+y\leqslant 3$,则$\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{4y-3x}4$的最小值为_______.

6、已知关于$x$的方程$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$有实根,则$a^2+b^2$的最小值为________.

7、已知$0<a\leqslant 1$,$x>0$,求证:${\rm e}^{ax}+\ln (1+x)-1>2ax$.


参考答案

1、D.

提示    $a_1+a_2+\cdots +a_{2015}=1-\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdots (2015x+1)}$.

2、$\dfrac 54$

3、$3$

4、$\dfrac{6\sqrt{41}}{41}$

5、$2$

提示    \[\begin{split} \dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{4y-3x}4&=\dfrac 2y+\dfrac 1x+y-\dfrac 34x\\ &\geqslant \dfrac 2y+\dfrac{1}{3-y}+y-\dfrac 34(3-y) \\ &=\dfrac 2y+2y+\dfrac{1}{3-y}+\dfrac{3-y}4-3\\&\geqslant 4+1-3=2,\end{split} \]等号当$x=2$,$y=1$时取得.

6、$\dfrac 45$

提示    也即方程$t^2+at+b-2=0$有满足$|t|\geqslant 2$的根,其中$t=x+\dfrac 1x$.

7、提示    令$t=ax>0$,要证不等式即$$\forall 0<a\leqslant 1,t>0,{\rm e}^t+\ln\left(1+\dfrac ta\right )-1-2t>0.$$这等价于$$\forall t>0,{\rm e}^t+\ln(1+t)-2t-1>0.$$

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