每日一题[554]函数方程

已知函数$f(x)=x^2-2x+c$,若$\{x\mid f(x)=x\}=\{x\mid f(f(x))=x\}$,求实数$c$的取值范围.


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分析与解  因为方程$f(x)=x$的解一定是方程$f(f(x))=x$的解,所以$f(f(x))-x$一定有因式$f(x)-x$,于是我们可以尝试对$f(f(x))-x$进行因式分解.

方程$f(f(x))=x$即$$f^2(x)-2f(x)+c=x,$$也即$$f^2(x)-x^2-2f(x)+2x+c-c=x-f(x),$$整理得$$[f(x)-x]\cdot [f(x)+x-1]=0,$$根据题意,方程$f(x)+x-1=0$或者无实数根,或者与方程$f(x)=x$的根一致,也即$$\Delta=5-4c<0 \lor f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12,$$解得$c\geqslant \dfrac 54$,因此实数$c$的取值范围是$\left[\dfrac 54,+\infty\right)$.

 “$\lor$”表示“或”.

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