每日一题[541]常数变易

设$a_1=1$,$a_2=8$,$a_{n+1}=a_{n-1}+\dfrac 4na_n$($n=2,3,\cdots $).

(1)证明:存在$c>0$,使得$a_n\leqslant cn^2$($n=1,2,\cdots $);

(2)证明:$\forall n\in \mathcal N^*,a_{n+1}-a_n\leqslant 4n+3$.


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分析与解    (1)考虑递推证明,若当$n=1,2,\cdots ,k$时,均有$a_n\leqslant cn^2$,则对第$k+1$项,有$$a_{k+1}\leqslant c(k-1)^2+\dfrac 4k\cdot ck^2=c(k+1)^2,$$这就意味着只需要选择合适的$c$,使其满足归纳基础即可.考虑到$a_2=8$,因此可以取$c=2$,有$$\forall n\in\mathcal N^*,a_n\leqslant 2n^2.$$

(2)将第(1)小题中的常数$c$变易为$b_n$,即令$a_n=b_n\cdot n^2$,则根据第(1)小题的结果,有$b_n\leqslant 2$.

另一方面,有$$(n+1)^2b_{n+1}=(n-1)^2b_{n-1}+[(n+1)^2-(n-1)^2]b_n,$$整理得$$\dfrac{b_{n+1}-b_n}{b_n-b_{n-1}}=-\dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2},$$从而$$b_{n+1}-b_n=(-1)^{n-1}\cdot \dfrac{4}{n^2(n+1)^2},$$于是\[\begin{split} a_{n+1}-a_n&=(n+1)^2b_{n+1}-n^2b_n\\& =n^2(b_{n+1}-b_n)+(2n+1)b_{n+1}\\&\leqslant n^2\cdot (-1)^{n-1}\cdot \dfrac{4}{n^2(n+1)^2}+(2n+1)\cdot 2\\ &\leqslant 4n+3,\end{split} \]因此原命题得证.

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