每日一题[539]取等条件

设$a,b,c,d\in\mathcal R$,且$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$,求$$a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$$的最小值.


cover

分析与解    根据已知条件的形式,考虑利用柯西不等式.引入参数,有\[\begin{split} \sqrt{10}&=(1-\lambda)a+(2-\lambda)b+(3-\lambda)c+(4-\lambda)d+\lambda (a+b+c+d)\\ &\leqslant \sqrt{(1-\lambda)^2+(2-\lambda)^2+(3-\lambda)^2+(4-\lambda)^2+\lambda ^2}\cdot \sqrt M,\end{split} \]其中$M=a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$.考虑到等号取得的条件,有$$(1-\lambda)+(2-\lambda)+(3-\lambda)+(4-\lambda)=\lambda,$$解得$\lambda=2$,于是$$\sqrt {10}\leqslant \sqrt{10}\cdot \sqrt M,$$从而$M$的最小值为$1$,当$(a,b,c,d)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},0,\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{2}{\sqrt{10}}\right)$时取得.

下面给出一个练习题.

已知$a,b>0$,$\dfrac{8}{a^2}+\dfrac 1b=1$,求$a+b$最小值.

答案    $6$

提示    考虑$$\dfrac{8}{a^2}+\lambda a+\lambda a+\dfrac 1b+2\lambda b,$$可根据等号取得的条件得到$\lambda=\dfrac 18$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论