光线反射与最值

大自然中有很多精妙之处,比如蜂巢的结构可以使得蜜蜂用最少的材料造出最大的空间,比如光总是沿直线传播,即使在物体表面反射后,所走路线仍然是最短的.在数学中,最短距离问题往往可以通过某种对称,转化为两点之间的距离最短的问题.比如从初中开始,我们就很熟悉的这样的问题:已知点$A(2,2)$和点$B(-3,8)$,在$x$轴上求一点$M$,使得$|AM|+|BM|$取最小值.

屏幕快照 2016-06-23 下午3.02.23我们只需要作$A$关于$x$轴的对称点$A'$,由$$|AM|+|BM|=|A'M|+|BM|\geqslant |A'B|$$便可得到当$A',M,B$三点共线时,有最小值.从而得到$M(1,0)$.在光线反射问题中,因为光总是走最短距离的,所以将入射光线上的点关于反射面作对称,得到的点一定在反射光线上.


例题一 (1)在直角坐标平面$xOy$内,一条光线从点$(2,4)$射出,经直线$x+y-1=0$反射后,经过点$(3,2)$,则反射光线的方程为_________;
(2)如图所示,已知$A(4,0)$,$B(0,4)$,从点$P(2,0)$射出的光线经直线$AB$反射后,再射到直线$OB$上,最后经直线$OB$反射后又回到$P$点,则光线所经过的路程是_______.

屏幕快照 2016-06-23 下午3.16.58分析与解 (1)点$(2,4)$关于直线$x+y-1=0$的对称点在反射光线所在的直线上,由上一招可以直接写出对称点坐标为$(-3,-1)$,所以反射光线的方程为$$y-2=\dfrac {2+1}{3+3}(x-3),$$整理得$x-2y+1=0$.

(2)由光线反射的性质知,点$P$关于$AB$的对称点$C$,与点$P$关于$OB$的对称点$D$都在第一次反射后的光线上,如图:

屏幕快照 2016-06-23 下午3.17.05$AB$的方程为$x+y-4=0$,故$C(4,2)$,而$D(-2,0)$,光线所经过的路程就是$CD$的长,故为$2\sqrt{10}$.

 入射光线与反射光线是相对的,如果光线反过来,从反射光线方向射入,则原来的入射光线就会变成反射光线,在处理光线相关问题时注意灵活转化.


例题二 已知$P$是直线$y=x+1$上一点,$M,N$分别是圆$C_1:(x+4)^2+(y-4)^2=4$与圆$C_2:(x-3)^2+y^2=1$上的动点,则$|PM|-|PN|$的最大值为_______.

分析与解 因为$M,N$是相对独立的,要想$|PM|-|PN|$取到最大值,我们希望$|PM|$尽量大,$|PN|$尽量小.设$P$为圆$O$外的一点,$M$为圆上一点,我们来研究$|PM|$的最大值与最小值,如图:

屏幕快照 2016-06-23 下午3.58.41我们有$$\begin{split} |PM|\leqslant |PO|+|OM|=|PB|,\\|PN|\geqslant |PO|-|ON|=|PA|,\end{split} $$所以$|PM|$的最大值为$|PO|+r$,最小值为$|PO|-r$.

于是$|PM|-|PN|$的最大值为$$|PC_1|+2-|PC_2|-1=|PC_1|-|PC_2|+1,$$如图,我们来求$|PC_1|-|PC_2|$的最大值.

作$C_1(-4,4)$关于直线$y=x+1$的对称点$C'_1(3,-3)$,则有$$|PC_1|-|PC_2|=|PC_1'|-|PC_2|\leqslant |C_1'C_2|,$$如图,当点$P$为$C_1'C_2$的延长线与直线$y=x+1$的交点时,取到等号.屏幕快照 2016-06-23 下午4.10.42容易计算得$|PM|-|PN|$的最大值为$6$.


最后给出两道练习:

练习一 已知光线经过点$A(-1,2)$,由镜面所在直线$y=x$反射后经过点$B(1,4)$,则反射光线所在直线方程为_______.

答案 $5x+y-9=0$.

练习二 已知圆$C_1:(x-1)^2+(y-2)^2=1$,圆$C_2:(x-4)^2+(y-2)^2=9$,$M,N$分别是圆$C_1,C_2$上的动点,$P$为$x$轴上的动点,则$|PM|+|PN|$的最小值为______.

答案 $1$.

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