每日一题[537]直线的参数方程

设$P,Q$是抛物线$C:y^2=2px$($p>0$)上的不同两点,抛物线$C$在$P,Q$处的切线交于点$M$.过$M$作直线$l$与抛物线交于点$A,B$,与直线$PQ$交于点$K$,求证:$\dfrac{MK}{MA}+\dfrac{MK}{MB}$为定值.

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分析    所求的结论涉及的线段都位于同一条直线上,因此可以考虑利用直线的参数方程简化问题.

证明    设$M(x_0,y_0)$,则直线$PQ:y_0y=p(x+x_0)$.设直线$l$的方程为$$\begin{cases} x=x_0+t,\\ y=y_0+kt,\end{cases} $$点$A,B,K$对应的参数分别为$t_1,t_2,t_0$,则$$\dfrac{MK}{MA}+\dfrac{MK}{MB}=\dfrac{t_0}{t_1}+\dfrac{t_0}{t_2}=t_0\cdot \dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}.$$联立直线$l$的方程与抛物线$y^2=2px$的方程,整理得$$k^2t^2+(2ky_0-2p)t+y_0^2-2px_0=0,$$联立直线$l$的方程与直线$PQ$的方程,可得$$y_0^2+ky_0t=p(2x_0+t),$$从而$$t_0\cdot \dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}=\dfrac{y_0^2-2px_0}{p-ky_0}\cdot\dfrac{2p-2ky_0}{y_0^2-2px_0}=2,$$为定值.因此原命题得证.

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