数轴表示法与端点分析

连续数集是一类常见的集合,连续数集的问题往往通过数轴表示法去解决,在含参的连续数集的关系与运算的问题中,需要特别注意的是端点往往需要单独作分析.

例题一 已知集合$A=\{x|x^2-x-2\leqslant 0\}$,$B=\{x|x^2+2mx+m^2-4<0\}$.
(1)若$A\subseteq B$,则$m$的取值范围是_________;
(2)若$A\subseteq\complement_{\mathcal{R}}B$,则$m$的取值范围是_________;
(3)若$B\subseteq\complement_{\mathcal{R}}A$,则$m$的取值范围是_________;
(4)若$A\cap B=\varnothing$,则$m$的取值范围是_________.

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分析与解 $A=[-1,2]$,$B=(-m-2,-m+2)$,(1)(2)(3)题的示意图如下:

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(1)当$A\subseteq B$时,先写出$m$满足的关系$$\begin{cases} -m-2<-1,\\-m+2>2.\end{cases} $$解得$-1<m<0$.再考虑$m$是否包含端点值,即上述不等式等号取到时,包含关系是否成立?因为$A$是闭区间,而$B$是开区间,故等号取到时,不满足条件关系,故$m$的取值范围是$(-1,0)$;

(2)要满足$A\subseteq\complement_{\mathcal{R}}B$,则$m$满足$$-m-2>2\lor -m+2<-1,$$解得$$m<-4\lor m>3.$$下面再考虑等号取到时是否满足,两边都是闭区间,显然满足.故$m$取值范围是$(-\infty,-4]\cup[3,+\infty)$;

(3)不再单独考虑等号:因为集合$\complement_{\mathcal{R}}A$与$B$都是开区间,所以等号也可以取到,所以$m$满足$$-m-2\leqslant -1\lor -m+2\geqslant 2,$$解得$m$取值范围是$(-\infty,-4]\cup[3,+\infty)$.

(4)因为集合一开一闭,所以等号可以取到(只有有一个区间是开区间,则交集为空集),结合数轴知$m$满足$$-m-2\geqslant 2\lor -m+2\leqslant -1,$$解得$m$取值范围是$(-\infty,-4]\cup[3,+\infty)$.

注 事实上,(2)(3)(4)的条件等价.等号能否取到不需要一般性的总结与规律,单独考虑即可.“$\lor$”表示“或”.


还有一类与绝对值不等式相关的问题,因为绝对值的几何意义为距离,用数轴表示尤其便利.

例题二 设集合$A=\{x\left|\right.|x-a|<3,x\in\mathcal{R}\}$,$B=\{x\left|\right .|x-b|>2,x\in\mathcal{R}\}$.
(1)若$A\subseteq B$,则实数$a,b$必满足________;
(2)若$A\cup B=\mathcal{R}$,则实数$a,b$必满足________.

分析与解 绝对值是有明确的几何意义的,即数轴上两点之间的距离,所以$A$是由离$a$距离小于$3$的点构成的集合,$B$是由离$b$的距离超过$2$的点构成的集合,于是固定$b$,让集合$A$动起来,即可直接得到$a,b$满足的关系.

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(1)当$a,b$之间的距离不小于$5$时,有$A\subseteq B$,即$|a-b|\geqslant 5$.
(2)当$a,b$之间的距离小于$1$时,有$A\cup B=\mathcal{R}$,即$|a-b|<1$.

与绝对值相关的问题借助于距离的几何意义,通过数轴去看往往更快.


最后给出两道练习:

练习一 已知集合$A=\{x|x^2-2x\leqslant 0,x\in\mathcal{R}\}$,$B=\{x|x\geqslant a\}$,若$A\cup B=B$,则实数$a$的取值范围是_________;若$B\subseteq \complement_{\mathcal{R}}{A}$,则$a$的取值范围是______.

答案 $(-\infty,0]$,$(2,+\infty)$.

练习二 已知集合$A=\{x\left|\right.|x-a|\leqslant 1,x\in\mathcal{R}\}$,$B=\{x\left|\right .|x-b|\leqslant 3,x\in\mathcal{R}\}$.若$A\subseteq B$,则实数$a,b$必须满足_________,若$A\cap B=\varnothing$,则实数$a,b$必须满足_____________.

答案 $|b-a|\leqslant 2$;$|a-b|>4 $.

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