注意：所有题目均为单项选择题，共$20$小题．
1．已知函数$f(x)$是连续的偶函数，且当$x>0$时$f(x)$是严格单调函数，则满足$f(x)=f \left(\dfrac{x+3}{x+4}\right)$的所有$x$之和是（ ）
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每日一题[710]排排座
（2012年上海卷）对于数集$X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，其中$0<x_1<x_2<\cdots <x_n$，$n\geqslant 2$．定义向量集$Y=\{\overrightarrow a\mid \overrightarrow a=(s,t),s,t\in X\}$，若对任意$\overrightarrow a_1\in Y$，存在$\overrightarrow a_2\in Y$，使得$\overrightarrow a_1\cdot \overrightarrow a_2=0$，则称$X$具有性质$P$．例如$\{-1,1,2\}$具有性质$P$．
(1) 若$x>2$，且$\{-1,1,2,x\}$具有性质$P$，求$x$的值；
(2) 若$X$具有性质$P$，求证：$1\in X$，且当$x_n>1$时，$x_1=1$；
(3) 若$X$具有性质$P$，且$x_1=1$，$x_2=q$($q$为常数)，求有穷数列$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的通项公式．
每日一题[709]向量问题的两个角度
若平面向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=4$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$，$\overrightarrow e$是平面内的单位向量，则$\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|$的取值范围是_________．
每日一题[708]含参不等式的处理
在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=ca_n+c^{n+1}(2n+1)$，$n\in\mathcal N^*$，其中实数$c\ne 0$．
(1) 求$\{a_n\}$的通项公式；
(2) 若对一切$k\in\mathcal N^*$有$a_{2k}>a_{2k-1}$，求$c$的取值范围．
每日一题[707]相切于抛物线
设抛物线$C:y=x^2$的焦点为$F$，动点$P$在直线$l:x-y-2=0$上运动，过点$P$作抛物线$C$的两条切线$PA,PB$且与抛物线分别相切于点$A,B$．
(1) 求$\triangle APB$的重心$G$的轨迹方程；
(2) 求证：$\angle PFA=\angle PFB$．
每日一题[706]新性质探索——E数列
（2011年北京卷）若数列$A_n:a_1,a_2,\cdots ,a_n$($n\geqslant 2$)满足$\left|a_{k+1}-a_k\right|=1$($k=1,2,\cdots ,n-1$)，则称$A_n$为$E$数列．记$S(A_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n$．
(1) 写出一个满足$a_1=a_5=0$，且$S(A_3)>0$的$E$数列$A_5$；
(2) 若$a_1=12$，$n=2000$，证明：$E$数列$A_n$是递增数列的充要条件是$a_n=2011$；
(3) 对任意给定的整数$n$($n\geqslant 2$)，是否存在首项为$0$的$E$数列$A_n$，使得$S(A_n)=0$．如果存在，写出一个满足条件的$E$数列$A_n$；如果不存在，说明理由．
每日一题[705]三次函数的性质
设关于$x$的方程$x(x-3)^2=m$有三个不同的实数解$a,b,c$，且$a<b<c$，则下列命题正确的是________．
(1) $abc$的取值范围是$(0,4)$；
(2) $a^2+b^2+c^2$为定值；
(3) $c-a$有最小值，没有最大值．
2016年北京大学自主招生数学试题回忆版
一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知$\dfrac{\sin{x}}{\sqrt{1-\cos^2{x}}}-\dfrac{\cos{x}}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}=2\left(0<x<2\pi\right)$，则$x$的取值范围是（ ）
每日一题[704]数列“一锅鲜”
已知数列$\{a_n\}$是公差不为零的等差数列，$a_5=6$，数列$\{b_n\}$满足$b_1=3$，$b_{n+1}=b_1b_2\cdots b_n+1$．
(1) 当$n\geqslant 2$时，求证：$\dfrac{b_{n+1}-1}{b_n-1}=b_n$；
(2) 当$a_3>1$且$a_3\in\mathbb N^*$时，存在任意多项的等比数列$a_3,a_5,a_{k_1},a_{k_2},\cdots ,a_{k_n}$($n\in\mathbb N^*$)，求$a_3$；
(3) 在(2)的条件下，当$a_3$取最小值时，求证：$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}>4\left(\dfrac{1}{a_{k_1}-1}+\dfrac{1}{a_{k_2}-1}+\cdots +\dfrac{1}{a_{k_n}-1}\right).$$
练习题集[80]基础练习
1．(2010年北京市东城区一模)如果对任意一个三角形，只要它的三边长$a,b,c$都在函数$f(x)$的定义域内，就有$f(a),f(b),f(c)$也是某个三角形的三边长，则称$f(x)$为保三角函数，则下列函数中是保三角函数的是_______．
(1) $f(x)=\sqrt x$；
(2) $g(x)=\sin x$，$x\in (0,\pi)$；
(3) $h(x)=\ln x$，$x\in [2,+\infty)$．