每日一题[584]定性与定量

在平面直角坐标系中,过点 $P\left(a,b\right)\left(a\ne 0,b\ne 0\right)$ 的直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是定值 $M$,则这样的直线可能有_____条.


u=688721359,2375735155&fm=21&gp=0分析与解 设直线$l$的斜率为$k$,$k\neq 0$且$k\neq \dfrac ba$,直线$l$与两坐标轴围成的三角形的面积为$S(k)$.

定性分析 不妨设$a,b>0$.如左图所示,当$k\in (-\infty,0)$时,$S(k)$先从正无穷大单调递减,当$P$为直线$l$被两坐标轴所截得的线段的中点时取得最小值,再单调递增到正无穷大;当$k\in \left(0,\dfrac ba\right)$时,$S(k)$从正无穷大单调递减到$0$;当$k\in\left(\dfrac ba,+\infty\right)$时,$S(k)$从$0$单调递增到正无穷大.屏幕快照 2016-07-26 下午4.24.25因此不同的$M$($M>0$)对应的$k$的值可能为$2,3,4$个,进而这样的直线可能有$2,3,4$条.

定量计算 直线$l:y=k(x-a)+b$,于是直线$l$与两坐标轴围成的三角形的面积$$\begin{split}S(k)=&\dfrac 12\left|-\dfrac{b}{k}+a\right|\cdot\left|-ak+b\right|\\=&\dfrac 12\left|a^2k+\dfrac{b^2}{k}-2ab\right|\\=&\dfrac 12\left[a^2|k|+\dfrac{b^2}{|k|}-2ab\cdot \dfrac{k}{|k|}\right],\end{split}$$因此$S(k)$的函数图象如图:

屏幕快照 2016-07-26 下午4.24.32

不同的$M$($M>0$)对应的$k$的值可能为$2,3,4$个,因此这样的直线可能有$2,3,4$条.

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