抽象复合函数的定义域

在刚刚学习函数时,我们就经常遇到一类“剪不断、理还乱”的问题,就是$f(x+1)$与$f(x)$的定义域关系问题,现在回过头再来梳理一下这类问题:

例题一 (1)已知$f(x)$的定义域为$[1,3]$,则$f(x+1)$的定义域为________;
(2)已知$f(x+1)$的定义域为$[1,3]$,则$f(x)$的定义域为________;
(3)已知$f(2x+1)$的定义域为$[1,3]$,则$f(x+1)$的定义域为________.

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分析 第一层 $f(x)$与$f(x+1)$的区别
对应法则是将定义域内每一个自变量的值对应到唯一的函数值.$f(x)$是一个对应法则(可以记为$f$),$f(x+1)$是另外一个对应法则(不可记为$f$).对应法则$f(x)$将$2$对应到$f(2)$,而对应法则$f(x+1)$将$2$对应到$f(3)$.我们需要明确的是对应法则$f(x+1)$中的自变量仍然是$x$

第二层 $f(x)$与$f(x+1)$的联系
都有$f$,$f$的限制会对它们都造成影响,比如对应法则$f$是对自变量开根号,它只能对大于等于$0$的自变量有定义,那么$f$后面括号中的式子就必须非负.即$f$的作用区域是保持一致的,即$f$后面括号内的代数式的限制一致.注意,$f(x)$的定义域就是$f$的作用区域.

解 (1)$f(x)$的定义域为$[1,3]$,即$f$的作用区域为$[1,3]$,从而$x+1\in [1,3]$,解得$x\in [0,2]$,这就是$f(x+1)$的定义域;
(2)$f(x+1)$的定义域为$[1,3]$意味着其中的自变量$x\in [1,3]$,所以$x+1\in [2,4]$,即$f$的作用区域为$[2,4]$,这就是$f(x)$的定义域;
(3)$f(2x+1)$中的自变量$x\in [1,3]$,那么$2x+1\in [3,7]$,即$f$的作用区域是$[3,7]$,所以$x+1\in [3,7]$,解得$x\in [2,6]$,即$f(x+1)$的定义域为$[2,6]$.


这个概念理解清楚后,对于$f(x+1)$为偶函数或奇函数这类问题的理解就清楚明了了.

例题二 已知定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x+1)$为偶函数,下面等式一定成立的有_________.

①$f(x)=f(-x)$;
②$f(x+1)=f(-x+1)$;
③$f(x+1)=f(-x-1)$;
④$f(x)=f(-x+2)$;
⑤$f(-x)=f(x-2)$;
⑥$f(-x)=f(x+2)$.

正确答案是②④⑥.

分析与解 我们已经清楚地知道函数$f(x+1)$的自变量为$x$,而一个函数是偶函数的定义是当自变量取相反数时,函数值不变.即$$f(-x+1)=f(x+1).$$因为$x$的取值是任意的,所以$-x+1,x+1$的形式是不重要的,它们的关系是$(-x+1)+(x+1)=2$,即只要$f$后面括号中的两个数的和为$2$,它们的函数值就会保持不变.从而得到②④⑥正确.

事实上,等式$f(2x+1)=f(-2x+1)$,$f(100+x)=f(-x-98)$等等都表达的是同一个意思,即函数$f(x+1)$为偶函数,即$f(x)$的对称轴为$x=1$.抓住了本质,形式就不再具有迷惑性.


最后给出两道练习:

练习一 (1)已知$f(x)$的定义域为$[2,4]$,则$f(2x)$的定义域为________;
(2)已知$f(2x)$的定义域为$[2,4]$,则$f(x)$的定义域为________;
(3)已知$f(x+1)$的定义域为$[2,4]$,则$f(2x-1)$的定义域为________.

答案 (1)$[1,2]$;(2)$[4,8]$;(3)$[2,3]$.

练习二 已知定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x-2)$为偶函数,下面的等式一定成立的有_________.

①$f(x)=f(-x)$;
②$f(x-2)=f(-x+2)$;
③$f(-x-2)=f(x-2)$;
④$f(x)=f(-x+4)$;
⑤$f(-x)=f(x-4)$;
⑥$f(-2x)=f(2x-4)$;
⑦$f(2016x-2016)=f(-2016x+2012)$.

答案 ③⑤⑥⑦.

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