每日一题[583]元素知多少

集合$\{[x]+[2x]+[3x]\mid x\in\mathcal R\}\cap \{1,2,3,\cdots ,100\}$共有_____个元素.


cover

分析与解 记$f(x)=[x]+[2x]+[3x]$,则$$f(x)=\begin{cases} 0,&0\leqslant x<\dfrac 13,\\ 1,&\dfrac 13\leqslant x<\dfrac 12,\\ 2,&\dfrac 12\leqslant x<\dfrac 23,\\ 3,&\dfrac 23\leqslant x<1,\end{cases} $$又$f(x+1)=f(x)+6$,因此集合$$\{[x]+[2x]+[3x]\mid x\in\mathcal R\}=\{\cdots,0,1,2,3,6,7,8,9,12,13,14,15,\cdots \},$$也即模$6$余$0,1,2,3$的数,在集合$\{1,2,3,\cdots ,100\}$中共有$67$个.

思考与总结 事实上无需列举,直接计算$f(x)$在$[0,1)$上的最大值即可,当$0\leqslant x<1$时,$[x]+[2x]+\cdots +[kx]$表示从$0$到$\dfrac{k(k+1)}2-k$的所有整数(因为每当$x$跨过$\dfrac {m}{n}$,和式的值增加$1$,其中$n=k,k-1,\cdots,2$,$m=1,2,\cdots,n-1$.所以其中所有的整数都可以取到.)

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复