利用复根处理因式分解

在有理数范围内分解因式:$x^{12}+x^9+x^6+x^3+1$.

分析与解 等比数列求和可得\[\begin{split} x^{12}+x^9+x^6+x^3+1&=\dfrac{x^{15}-1}{x^3-1}\\ &=\dfrac{x^5-1}{x-1}\cdot \dfrac{x^{10}+x^5+1}{x^2+x+1}\\ &=(x^4+x^3+x^2+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1).\end{split} \]方程$x^{{12}}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=0$的所有复数根分布如下图.

latex-image-1我们熟知,如果$\cos\theta$是有理数,则$\cos n\theta$亦为有理数,其中$n\in\mathcal N^*$,因此若$\cos n\theta$不是有理数,那么$\cos\theta$也不是有理数,因此可以按照以下路径推出图中所有角的余弦均不为有理数($\cos 144^\circ=-\dfrac{\sqrt 5+1}4$):$$144^\circ\to 72^\circ \to 24^\circ\to 336^\circ\to 168^\circ\to 192^\circ\to 96^\circ\to 48^\circ.$$由于任何共轭的复数根其实部均不为有理数,所以无法在有理数范围内继续分解因式.

综上,题中代数式分解因式的结果为$(x^4+x^3+x^2+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$.


说明 下面说明如何计算$\cos 36^\circ$:
1.$\cos 36^{\circ}\cdot\cos 72^{\circ}=\dfrac{\sin 36^\circ\cdot\cos 36^{\circ}\cdot\cos 72^\circ}{\sin 36^\circ}=\dfrac 14$;
2.因为$\cos 72^\circ=2\cos^2 36^\circ-1$,所以$\cos 36^\circ$满足方程$x(2x^2-1)=\dfrac 14$,对此方程整理变形得$$(2x+1)(4x^2-2x-1)=0,$$所以$\cos 36^\circ=\dfrac {1+\sqrt 5}{2}$.
3.也可以由$\cos 36^\circ-\cos 72^\circ=2\sin 54^\circ\sin 18 ^\circ=2\cos 72^\circ\cos 36^\circ=\dfrac 12$,得到$\cos 36^\circ$与$-\cos 72^\circ$是方程$x^2-\dfrac 12x-\dfrac 14=0$的两根,从而有$$\cos 36^\circ=\dfrac {1+\sqrt 5}{4},\cos 72^\circ=\dfrac {\sqrt 5-1}{4}.$$

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