已知点$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(3,m)$，以$C$为圆心作半径为$\dfrac{\sqrt {10}}3$的圆$C$．
(1) 若对线段$AB$上的任意一点$P$，均存在过$P$的直线与圆$C$相交于点$M,N$(其中$|PM|<|PN|$)，且$|PM|=|MN|$，求$m$的取值范围；
(2) 若线段$AB$上存在一点$P$，使过$P$的某条直线与圆$C$相交于点$M,N$(其中$|PM|<|PN|$)，且$|PM|=|MN|$，求$m$的取值范围．
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每日一题[718]“翻译”条件
每日一题[717]限制条件下的最值
已知$m,n\geqslant 0$，函数$f(x)=\dfrac 12(m-2)x^2+(n-8)x+1$在区间$\left[\dfrac 12,2\right]$上单调递减，则$mn$的最大值是________．
每日一题[716]抛物线的几何性质
已知抛物线$C_1:x^2=2py$($p>0$)与圆$C_2:x^2+y^2=8$的两个交点之间的距离为$4$．
(1) 求$p$的值；
(2) 若$C_1$在点$A,B$处切线垂直相交于点$P$，且点$P$在圆$C_2$内部，直线$AB$与$C_2$相交于$C,D$两点，求$|AB|\cdot |CD|$的最小值．
每日一题[715]代数式的最值
已知二次函数$f(x)=ax^2-4x+c$($x\in\mathcal{R}$)的值域为$[0,+\infty)$，则$\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{9}{a+9}$的最大值是________．
每日一题[714]各就各“位”
点$M$是棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱切球上的一点，点$N$是$\triangle ACB_1$的外接圆上的一点，则线段$MN$的取值范围是_______．
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每日一题[713]三角恒等变形
锐角三角形$ABC$中，若$\sin A=2\sin B\sin C$，则$$\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C$$的最小值为______．
每日一题[712]总有一款适合你
在椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$中，直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，直线$AB$不过点$P(2,0)$，且以$AB$为直径的圆恒过点$P(2,0)$，求证：直线$AB$恒过定点，并求该定点的坐标．
每日一题[711]闹中取静
在直角$\triangle ABC$中，$B$为直角，$A=60^\circ$，$AB=4\sqrt 3$，点$D$在$BC$边上，且$BD=2$，点$G$在$AB$边上，点$E,F$在$AC$边上，线段$DE$与$GF$相交于点$O$．若$DE=GF$且$\angle EOF=60^\circ$，求四边形$DGEF$面积的取值范围．
练习题集[81]不等式的证明
1．已知$x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1}$是$n+1$个正实数，证明：$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_1x_2}{x_3}+\cdots +\dfrac{x_1x_2\cdots x_n}{x_{n+1}}\geqslant 4\left(1-x_1x_2\cdots x_{n+1}\right).$$