每日一题[586]二阶不动点的转化

已知$a_{n+1}=\left(\sqrt{a_n}-1\right)^2$,若对任意不小于$2$的正整数$n$均有$a_{n+2}-a_n=0$成立,求$a_1$的取值范围.


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分析与解 记$f(x)=\left(\sqrt x-1\right)^2$,则$a_{n+1}=f(a_n)$,于是题意即对任意不小于$2$的正整数$n$均有$$\begin{cases} a_n=f(a_{n+1}),\\ a_{n+1}=f(a_n),\end{cases} $$因此$a_n$是曲线$x=f(y)$与曲线$y=f(x)$的公共点的横坐标.曲线$y=(\sqrt x-1)^2$由曲线$\sqrt x+\sqrt y=1$($0\leqslant x\leqslant 1$)和曲线$\sqrt x-\sqrt y=1$($x>1$)组成,因此问题转化为$a_n\in [0,1]$,其中$n\geqslant 2$且$n\in\mathcal N^*$.屏幕快照 2016-07-26 下午4.35.41由图易知$a_1=4$是分界点,讨论如下.

情形一 $0\leqslant a_1\leqslant 4$.

此时$a_2\in [0,1]$,而当$x\in [0,1]$时有$f(x)\in [0,1]$,因此$a_n\in [0,1]$,其中$n\geqslant 2$且$n\in\mathbb N^*$,符合题意.

情形二 $a_1>4$.

此时$a_2>1$,不符合题意.

综上所述,$a_1$的取值范围是$[0,4]$.

思考与总结 函数的二阶不动点通常转化为曲线$x=f(y)$与曲线$y=f(x)$的公共点考虑.

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