2016年北京卷理科数学压轴题(创新大题)

设数列$A:a_1,a_2,\cdots,a_N \left(N \geqslant 2\right) $.如果对小于$n \left(2 \leqslant n \leqslant N\right) $的每个正整数$k$都有$a_k<a_n$,则称$n$是数列$A$的一个“$G$时刻”.记$G(A)$是数列$A$的所有“$G$时刻”组成的集合.

(1)对数列$A:-2,2,-1,1,3$,写出$G(A)$的所有元素;

(2)证明:若数列$A$中存在$a_n$使得$a_n>a_1$,则$G(A)\ne \varnothing $;

(3)证明:若数列$A$满足$a_n-a_{n-1}\leqslant 1\left(n=2,3,\cdots,N\right) $,则$G(A)$的元素个数不小于$a_N-a_1$.


 (1) $G(A)=\{2,5\}$.

(2) 若数列$A$中存在$a_n$使得$a_n>a_1$,不妨假设$a_k \left(2 \leqslant k \leqslant N\right) $是$a_2,a_3,\cdots,a_N$中第一个大于$a_1$的数,则对小于$k$的每个正整数$i$都有$a_i<a_k$,所以$k\in G(A)$,故$G(A)\ne \varnothing $.

(3) (i)若$G(A)=\varnothing $,则由第(2)题可知,$a_N \leqslant a_1$,此时结论成立.

(ii) 若$G(A)\ne \varnothing $,设$G(A)=\left\{i_1,i_2,\cdots,i_k\right\}$,其中$i_j \in \left\{2,3,\cdots,N\right\},\ j=1,2,\cdots,k$.不妨设$i_1<i_2<\cdots<i_k$.由题意,$a_{i_1}>a_1 \geqslant a_{i_1-1}$,所以$$a_{i_1}-a_1 \leqslant a_{i_1}-a_{i_1-1} \leqslant 1,$$同理,$a_{i_2}>a_{i_1} \geqslant a_{i_2-1}$,所以$$a_{i_2}-a_{i_1} \leqslant a_{i_2}-a_{i_2-1} \leqslant  1,$$以此类推,我们有\[\begin{split}a_{i_1}-a_1 \leqslant a_{i_1}-a_{i_1-1} &\leqslant 1,\\a_{i_2}-a_{i_1} \leqslant a_{i_2}-a_{i_2-1} &\leqslant  1,\\ \cdots\cdots\cdots,\\a_{i_k}-a_{i_{k-1}} \leqslant a_{i_k}-a_{i_k-1} &\leqslant  1.\end{split} \] 将以上各式叠加,我们得到$$a_N-a_1 \leqslant a_{i_k}-a_1 \leqslant k,$$故此时结论也成立.

综合(i)(ii)可知,若数列$A$满足$a_n-a_{n-1}\leqslant 1\left(n=2,3,\cdots,N\right) $,则$G(A)$的元素个数不小于$a_N-a_1$.

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