已知$f(x)=a(x-\ln x)+\dfrac{2x-1}{x^2}$，$a\in\mathcal R$．
(1) 讨论$f(x)$的单调性；
(2) 当$a=1$时，证明：$f(x)>f'(x)+\dfrac 32$对于任意的$x\in [1,2]$成立．
解 (1) 根据题意，$f(x)$的导函数$$f'(x)=\dfrac{(ax^2-2)(x-1)}{x^3},$$易得讨论的分界点为$0,2$．
情形一 $a\leqslant 0$．
此时函数$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减．
情形二 $0<a<2$．
此时函数$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$\left(1,\sqrt{\dfrac 2a}\right)$上单调递减，在$\left(\sqrt{\dfrac 2a},+\infty\right)$上单调递增．
情形三 $a=2$．
此时函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增．
情形四 $a>2$．
此时函数$f(x)$在$\left(0,\sqrt{\dfrac 2a}\right)$上单调递增，在$\left(\sqrt{\dfrac 2a},1\right)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增．
(2) 题中不等式即$$x-\ln x+\dfrac{2x-1}{x^2}-\dfrac{(x^2-2)(x-1)}{x^3}-\dfrac 32>0,$$我们熟知在区间$[1,2]$上有$$\ln x \leqslant x-1,$$于是\[\begin{split} LHS&\geqslant \dfrac{2x-1}{x^2}-\dfrac{(x^2-2)(x-1)}{x^3}-\dfrac 12\\ &=\dfrac{(3x^2-2)(2-x)}{2x^3},\end{split} \]等号当且仅当$x=1$时取得．而在区间$[1,2]$上，显然有$$\dfrac{(3x^2-2)(2-x)}{2x^3}\geqslant 0,$$等号当且仅当$x=2$时取得．因此在区间$[1,2]$上有$$f(x)-f'(x)-\dfrac 32>0.$$
综上所述，原命题得证．