已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点．直线$l:y=-x+3$与椭圆$E$有且只有一个公共点$T$．
(1) 求椭圆$E$的方程及点$T$的坐标；
(2) 设$O$是坐标原点，直线$l'$平行于$OT$，与椭圆$E$交于不同的两点$A,B$，且与直线$l$交于点$P$．证明：存在常数$\lambda$，使得$|PT|^2=\lambda |PA|\cdot |PB|$，并求$\lambda$的值．
设函数$f(x)=ax^2-a-\ln x$，其中$a\in\mathcal R$．
(1) 讨论$f(x)$的单调性；
(2) 确定$a$的所有可能取值，使得$f(x)>\dfrac 1x-{\rm e}^{1-x}$在区间$(1,+\infty)$内恒成立．
设函数$f(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx$，曲线$y=f(x)$在点$\left(2,f(2)\right)$处的切线方程为$y=(\mathrm{e}-1)x+4$．
(1)求$a,b$的值；
(2)求$f(x)$的单调区间．
已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$A(a,0),\ B(0,b),\ O(0,0)$，$\triangle{OAB}$的面积为$1$．
(1)求椭圆$C$的方程；
(2)设$P$是椭圆$C$上一点，直线$PA$与$y$轴交于点$M$，直线$PB$与$x$轴交于点$N$．求证：$\left|AN\right|\cdot\left|BM\right|$为定值．
袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}t+\dfrac{y^2}3=1$的焦点在$x$轴上，$A$是$E$的左顶点，斜率为$k$($k>0$)的直线交$E$于$A,M$两点，点$N$在$E$上，$MA\perp NA$．
(1) 当$t=4$，$|AM|=|AN|$时，求$\triangle AMN$的面积；
(2) 当$2|AM|=|AN|$时，求$k$的取值范围．
设函数$f(x)=\begin{cases}x^3-3x,&x\leqslant a,\\-2x,&x>a.\end{cases}$
(1)若$a=0$，则$f(x)$的最大值为_______；
(2)若$f(x)$无最大值，则实数$a$的取值范围是_______．
(1) 讨论函数$f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}{\rm e}^x$的单调性，并证明当$x>0$时，$(x-2){\rm e}^x+x+2>0$；
(2) 证明：当$a\in [0,1)$时，函数$g(x)=\dfrac{{\rm e}^x-ax-a}{x^2}$($x>0$)有最小值．设$g(x)$的最小值为$h(a)$，求函数$h(a)$的值域．
设圆$x^2+y^2+2x-15=0$的圆心为$A$，直线$l$过点$B(1,0)$且与$x$轴不重合，$l$交圆$A$于$C,D$两点，过$B$作$AC$的平行线交$AD$于点$E$．
(1) 证明：$|EA|+|EB|$为定值，并写出点$E$的轨迹方程；
(2) 设点$E$的轨迹为曲线$C_1$，直线$l$交$C_1$于$M,N$两点，过$B$且与$l$垂直的直线与圆$A$交于$P,Q$两点，求四边形$MPNQ$面积的取值范围．
已知函数$f(x)=(x-2){\rm e}^x+a(x-1)^2$有两个零点．
(1) 求$a$的取值范围；
(2) 设$x_1,x_2$是$f(x)$的两个零点，证明：$x_1+x_2<2$．
