Math173

在$\triangle ABC$中，$AC=2AB=2$，$BC=\sqrt 3$，$P$是$\triangle ABC$内部一点，记$\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA$的面积分别为$S_{\triangle PAB},S_{\triangle PBC},S_{\triangle PCA}$，且$$\dfrac{S_{\triangle PAB}}{\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}}=\dfrac{S_{\triangle PBC}}{\overrightarrow {PB}\cdot \overrightarrow {PC}}=\dfrac{S_{\triangle PCA}}{\overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PA}},$$则$PA+PB+PC=$________．

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求证：$\dfrac{1}{2\ln 2}+\dfrac{2}{3\ln 3}+\cdots +\dfrac{n-1}{n\ln n}>2\sqrt{n+1}-3$．

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已知函数$f(x)=x^2-2x+1+a\ln x$有两个极值点$x_1,x_2$，且$x_1<x_2$，则(　　)
A．$f(x_2)<-\dfrac{1+2\ln 2}4$
B．$f(x_2)<\dfrac{1-2\ln 2}4$
C．$f(x_2)>\dfrac{1+2\ln 2}4$
D．$f(x_2)>\dfrac{1-2\ln 2}4$

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已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，若存在实数$t$，当$x\in [1,m]$时，$f(x+t)\leqslant x$恒成立，则实数$m$的最大值为________．

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设$A,B,C,D$是空间四个不共面的点，以$\dfrac 12$的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则$A,B$可用空间折线(一条或若干条边组成的)连接的概率为_______．

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平面内向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$满足$\Big|\overrightarrow a\Big|=\Big|\overrightarrow b\Big|=2$，$\Big|\overrightarrow c\Big|=1$，$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则$\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|$的取值范围是_________．

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已知正项数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 32$，$a_{n+1}^2-a_n^2=\dfrac{1}{(n+2)^2}-\dfrac{1}{n^2}$，记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$\dfrac{1}{S_1}-\dfrac{1}{S_3}+\dfrac{1}{S_5}-\cdots -\dfrac{1}{S_{2007}}+\dfrac{1}{S_{2009}}$的值为______．

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(2012年新课标I卷理科数学第21题)已知函数$f(x)$满足$f(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)x+\dfrac 12x^2$．
(1) 求$f(x)$的解析式及单调区间；
(2) 若$f(x)\geqslant \dfrac 12x^2+ax+b$，求$(a+1)b$的最大值．

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已知$f(x)$是定义在$(-1,1)$上的函数，$f\left(\dfrac 12\right)=-1$，且对任意$x,y\in (-1,1)$，有$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+xy}\right)$．
(1) 求证：$f(x)$是奇函数；
(2) 若数列$\{x_n\}$满足$x_1=\dfrac 12$，$x_{n+1}=\dfrac{2x_n}{1+x_n^2}$，求$f(x_n)$；
(3) 证明：$1+f\left(\dfrac 15\right)+f\left(\dfrac 1{11}\right)+\cdots +f\left(\dfrac{1}{n^2+3n+1}\right)+f\left(\dfrac{1}{n+2}\right)=0$．

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