每日一题[878]函数的最值

已知函数$f(x) = \dfrac{{a + 3bx + \sin x + bx\cos x}}{{3 + \cos x}}$($a , b \in {\mathbb{R}}$),若$f(x)$在${\mathbb {R}}$上既有最大值,又有最小值,且最大值与最小值的和为$6$,则$a + b = $______.


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正确答案是$8$.

分析与解 $f\left( x \right)$在${\mathbb{R}}$上有最值,于是$b = 0$.从而$$f\left( x \right) = \dfrac{{a + \sin x}}{{3 + \cos x}},$$记$y = \dfrac{{a + \sin x}}{{3 + \cos x}}$,则$$\sin x - y\cos x = 3y - a,$$所以$$\dfrac{{{{\left( {3y - a} \right)}^2}}}{{1 + {y^2}}} \leqslant 1,$$即$$8{y^2} - 6ay + {a^2} - 1 \leqslant 0,$$根据题意${y_1} + {y_2} = 6$,所以$\dfrac{{6a}}{8} = 6$,所以$a = 8$.

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