每日一题[877]参差不齐

已知$ - 6 \leqslant {x_i} \leqslant 10$($i = 1, 2, \cdots , 10$),$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}} = 50$,当$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2} $取得最大值时,在${x_1}, {x_2}, \cdots , {x_{10}}$这$10$个数中等于$-6$的数共有_____个.


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正确答案是$3$.

分析与解 法一

令$y_i=x_i+6,i=1,2,\cdots,10$,则$$0\leqslant y_i\leqslant 16,\sum\limits_{i=1}^{10}y_i=110.$$于是$$\sum_{i=1}^{10}x_i^2=\sum_{i=1}^{10}(y_i-6)^2=\sum_{i=1}^{10}y_i^2-12\sum_{i=1}^{10}y_i+360=\sum_{i=1}^{10}y_i^2-960.$$若$\sum\limits_{i=1}^{10}x_i^2$取得最大值,则$\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2$取得最大值,不妨设$y_1\geqslant y_2\geqslant y_3\geqslant \cdots\geqslant y_{10}$,先用反证法证明$y_{10}=0$:

否则$y_{10}>0$,易知$y_9<16$:

(i) 若$y_9+y_{10}\leqslant 16$,则取$z_i=y_i,i=1,2,\cdots,8$,$z_9=y_9+y_{10}$,$z_{10}=0$,则$$\sum\limits_{i=1}^{10}z_i^2-\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2=(y_9+y_{10})^2-y_9^2-y_{10}^2=2y_9y_{10}>0;$$
(ii)若$y_9+y_{10}>16$,则取$z_i=y_i,i=1,2,\cdots,8$,$z_9=16$,$z_{10}=y_9+y_{10}-16$,则\[\begin{split} \sum\limits_{i=1}^{10}z_i^2-\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2=&16^2+(y_9+y_{10}-16)^2-y_9^2-y_{10}^2\\=&(16+y_9)(16-y_9)+(y_9+2y_{10}-16)(y_9-16)\\=&2(16-y_9)(16-y_{10})>0;\end{split}\]
综合(i)(ii)可知,若$\sum\limits_{i=1}^{10}y_i^2$取得最大值,则$y_{10}=0$.

同理可推得$y_9=0,y_8=0$,而若$y_7=0$,则$y_1+y_2+\cdots+y_6=110$,而$y_1+y_2+\cdots+y_6\leqslant 16\times 6=96$,矛盾,所以$y_7>0$.

令$y_1=y_2=\cdots=y_6=16$,$y_7=14$,$y_8=y_9=y_{10}=0$,满足题意,所以答案为$3$.

法二 如果当$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2} $取得最大值时,在$x_i$中存在两个数$x_i,x_j\in(-6,10),x_i\leqslant x_j$,则令$x=\min\{10-x_j,x_i+6\}$,则$x>0$,且$x_i-x\geqslant -6,x_j+x\leqslant 10$,且有$$(x_i-x)^2+(x_j+x)^2=x_i^2+x_j^2+2x^2+2x(x_j-x_i)>x_i^2+x_j^2,$$矛盾,所以$x_i,i=1,2,\cdots,10$中至多只有一个数不等于$-6$或$10$.

假设其中有$x$个$-6$,则有$9-x$个$10$,剩下的一个数为$$50-(-6)x-10(9-x)=16x-40\in(-6,10),$$解得$x=3$.

 本题就是在平均数确定的情况下,判断何时方差有最大值.

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每日一题[877]参差不齐》有 2 条评论

  1. thebluesky thebluesky说:

    本题“正确答案是C.”应该改为“正确答案是3.”

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