每日一题[879]挖掘几何意义

已知$ax + y = 2a + 3\;$($a$为正常数,$x \geqslant 0 ,y \geqslant 0$),若${x^2} + {y^2}$的最大值为$S$,且$S \in \left[ {49,121} \right]$,则$a$的取值范围为______.


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正确答案是$\left[ {\dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{5}} \right] \cup \left[ {2,4} \right]$.

分析与解 直线$y =- a\left( {x - 2} \right) + 3$在第一象限以及$x ,y$正半轴的部分上的点$\left( {x, y} \right)$到原点的距离最大值在$\left[ {7 ,11} \right]$上.

所以,$$7 \leqslant \max \left( {2 + \dfrac{3}{a}, 2a + 3} \right) \leqslant 11. $$由于$\max \left( {2 + \dfrac{3}{a}, 2a + 3} \right) \leqslant 11$即为$$\begin{cases} 2a + 3 \leqslant 11,\\2 + \dfrac{3}{a} \leqslant 11 .\end{cases}$$所以$ \dfrac{1}{3} \leqslant a \leqslant 4$.又$\max \left( {2 + \dfrac{3}{a},2a + 3} \right) \geqslant 7$即为 $$2 + \dfrac{3}{a} \geqslant 7$$或$$2a + 3 \geqslant 7.$$所以$ a \leqslant \dfrac{3}{5}$或$a \geqslant 2$.

综上,$a \in \left[ {\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{5}} \right] \cup \left[ {2 , 4} \right].$

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