每日一题[875]数列中的计数

数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$共有$11$项,${a_1} = 0$,${a_{11}} = 4$,且$\left| {{a_{k + 1}} - {a_k}} \right| = 1$,$k = 1,2,\cdots,10$,满足这种条件的不同数列的个数为______.


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正确答案是$120$.

分析与解 因为 ${a_{k + 1}} - {a_k} = 1$或$ - 1$,假设共有$x$个$1$,则$$x + \left( { - 1} \right)\left( {10 - x} \right) = 4,$$得$x = 7$.所以${\mathrm {C}}_{10}^7 = 120$为所求.

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