已知数列$\{x_n\}$满足$x_{n+1}=x_n-\ln x_n$，且$x_1={\rm e}$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}<1$．
已知扇形$OAB$中，$\angle AOB$为直角，圆$C$与$OA,OB$及圆$O$相切，圆$D$与$OA$，圆$O$，圆$C$相切．作$DE\perp OC$，垂足为$E$．求证：$\triangle ODE$的三边成等差数列．
(2013年全国I卷)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^\circ$，$AB=\sqrt 3$，$BC=1$，$P$为$\triangle ABC$内一点，$\angle BPC=90^\circ$．
(1) 若$PB=\dfrac 12$，求$PA$；
(2) 若$\angle APB=150^\circ$，求$\tan \angle PBA$．
已知$x>0$，考虑方程$a^x=x^a$，其中$a>0$且$a\ne 1$．
(1) 若方程只有一个实数解，求$a$的取值范围；
(2) 若方程有两个实数解$x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>2{\rm e}$．
1．已知$E,F$是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($b>a>0$)的左、右焦点，$F$也是抛物线$y^2=2px$($p>0$)的焦点，且两条曲线交于不同的两点$A,B$，若$5|AF|=4|BE|$，则双曲线的离心率为_______．
已知点$P$是圆$O:x^2+y^2=1$上一动点，$O$为坐标原点．过点$P$作圆$O$的切线$l$与圆$O_1:x^2+y^2-2x-8y=19$相交于$A,B$两点，则$\dfrac{AP}{BP}$的最大值为________．
已知$\triangle ABC$中，$\angle BAC,\angle ABC,\angle BCA$所对的边分别为$a,b,c$，$AD\perp BC$，且$AD$交$BC$于点$D$，$AD=a$，若$\dfrac {\sin^2\angle ABC+\sin^2\angle BCA+\sin^2\angle BAC}{\sin\angle ABC\cdot\sin\angle BCA}\leqslant m$恒成立，则实数$m$的取值范围为______．
