设抛物线$C:y=x^2$的焦点为$F$，动点$P$在直线$l:x-y-2=0$上运动，过点$P$作抛物线$C$的两条切线$PA,PB$且与抛物线分别相切于点$A,B$．
(1) 求$\triangle APB$的重心$G$的轨迹方程；
(2) 求证：$\angle PFA=\angle PFB$．
（2011年北京卷）若数列$A_n:a_1,a_2,\cdots ,a_n$($n\geqslant 2$)满足$\left|a_{k+1}-a_k\right|=1$($k=1,2,\cdots ,n-1$)，则称$A_n$为$E$数列．记$S(A_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n$．
(1) 写出一个满足$a_1=a_5=0$，且$S(A_3)>0$的$E$数列$A_5$；
(2) 若$a_1=12$，$n=2000$，证明：$E$数列$A_n$是递增数列的充要条件是$a_n=2011$；
(3) 对任意给定的整数$n$($n\geqslant 2$)，是否存在首项为$0$的$E$数列$A_n$，使得$S(A_n)=0$．如果存在，写出一个满足条件的$E$数列$A_n$；如果不存在，说明理由．
设关于$x$的方程$x(x-3)^2=m$有三个不同的实数解$a,b,c$，且$a<b<c$，则下列命题正确的是________．
(1) $abc$的取值范围是$(0,4)$；
(2) $a^2+b^2+c^2$为定值；
(3) $c-a$有最小值，没有最大值．
一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知$\dfrac{\sin{x}}{\sqrt{1-\cos^2{x}}}-\dfrac{\cos{x}}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}=2\left(0<x<2\pi\right)$，则$x$的取值范围是（ ）
已知数列$\{a_n\}$是公差不为零的等差数列，$a_5=6$，数列$\{b_n\}$满足$b_1=3$，$b_{n+1}=b_1b_2\cdots b_n+1$．
(1) 当$n\geqslant 2$时，求证：$\dfrac{b_{n+1}-1}{b_n-1}=b_n$；
(2) 当$a_3>1$且$a_3\in\mathbb N^*$时，存在任意多项的等比数列$a_3,a_5,a_{k_1},a_{k_2},\cdots ,a_{k_n}$($n\in\mathbb N^*$)，求$a_3$；
(3) 在(2)的条件下，当$a_3$取最小值时，求证：$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}>4\left(\dfrac{1}{a_{k_1}-1}+\dfrac{1}{a_{k_2}-1}+\cdots +\dfrac{1}{a_{k_n}-1}\right).$$
1．(2010年北京市东城区一模)如果对任意一个三角形，只要它的三边长$a,b,c$都在函数$f(x)$的定义域内，就有$f(a),f(b),f(c)$也是某个三角形的三边长，则称$f(x)$为保三角函数，则下列函数中是保三角函数的是_______．
(1) $f(x)=\sqrt x$；
(2) $g(x)=\sin x$，$x\in (0,\pi)$；
(3) $h(x)=\ln x$，$x\in [2,+\infty)$．
原卷$40$道题均为不定项选择题．这里收录的是回忆版试题，故将部分选择题改编为填空题．
1．已知函数$f(x)=\left(x^2+a\right)\mathrm{e}^x$有最小值，则函数$g(x)=x^2+2x+a$的零点个数为（ ）
已知椭圆$C:\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}8=1$及圆$M:x^2+2x+y^2+m=0$．过椭圆的左顶点$A$且与圆$M$相切于点$B$的直线交椭圆$C$于点$P$，$P$与椭圆$C$的右焦点$F$的连线交椭圆于$Q$．若$B,M,Q$三点共线，求实数$m$的值．
（2010年安徽卷）设$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots $中的每一项均不为$0$，求证：$\{a_n\}$是等差数列的充分必要条件是对任意自然数$n$，均有$$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac 1{a_2a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{n}{a_1a_{n+1}}.$$
（2012年四川卷）已知$a$为正实数，$n$为自然数，抛物线$y=-x^2+\dfrac{a^n}2$与$x$轴正半轴相交于点$A$．设$f(n)$为该抛物线在点$A$处的切线在$y$轴上的截距．
(1) 用$a$和$n$表示$f(n)$；
(2) 求对所有$n$都有$\dfrac{f(n)-1}{f(n)+1}\geqslant \dfrac{n^3}{n^3+1}$成立的$a$的最小值；
(3) 当$0<a<1$时，比较$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{f(k)-f(2k)}$与$\dfrac{27}4\cdot \dfrac{f(1)-f(n)}{f(0)-f(1)}$的大小，并说明理由．
