练习题集[80]基础练习

1.(2010年北京市东城区一模)如果对任意一个三角形,只要它的三边长$a,b,c$都在函数$f(x)$的定义域内,就有$f(a),f(b),f(c)$也是某个三角形的三边长,则称$f(x)$为保三角函数,则下列函数中是保三角函数的是_______.
(1) $f(x)=\sqrt x$;
(2) $g(x)=\sin x$,$x\in (0,\pi)$;
(3) $h(x)=\ln x$,$x\in [2,+\infty)$.

2.在$\triangle ABC$中,$AC=BC=\sqrt 5$,点$D,E,F$分别在边$AB,BC,CA$上,且$AD=DB=EF=1$,若$\overrightarrow {DE}\cdot\overrightarrow {DF}\leqslant \dfrac{25}{16}$,则$\overrightarrow {EF}\cdot \overrightarrow {BA}$的取值范围_______.

3.已知正整数$a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}$成等比数列,公比$q\in (1,2)$,则$a_{2016}$取最小值时,$q=$_______.

4.求所有的正整数$x,y$,使得$x^2+3y$和$y^2+3x$都是完全平方数.

5.函数$f(x)$的定义域为$(0,1)$,且$$f(x)=\begin{cases} x,&x\notin \mathcal Q,\\ \dfrac{p+1}q,&x=\dfrac pq,p,q\in\mathcal N^*,(p,q)=1.\end{cases} $$求$f(x)$在区间$\left(\dfrac{k-1}k,\dfrac{k}{k+1}\right)$上的最大值,其中$k\in\mathcal N^*$.

6.(2010年北京市朝阳区二模)已知$\{a_n\}$为递增数列,其前$n$项和为$S_n$,$a_1>1$,且$10S_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$,$n\in\mathcal N^*$.
(1) 求数列$\{a_n\}$的通项公式;
(2) 是否存在$m,n,k\in\mathcal N^*$,使得$2\left(a_m+a_n\right)=a_k$成立?若存在,写出一组符合条件的$m,n,k$;若不存在,请说明理由;
(3) 设$b_n=a_n-\dfrac{n-3}2$,$c_n=\dfrac{2(n+3)a_n}{5n-1}$,若对于任意的$n\in\mathcal N^*$,不等式$$\dfrac{\sqrt 5m}{31\left(1+\dfrac 1{b_1}\right)\left(1+\dfrac 1{b_2}\right)\cdots\left(1+\dfrac 1{b_n}\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{c_{n+1}+n-1}}\leqslant 0$$恒成立,求正整数$m$的最大值. 

7.从$1,2,\cdots ,100$个连续的正整数中选取三个不同的数.
(1) 可以选出的等差数列共有多少个?
(2) 可以选出的等比数列共有多少个?
(3) 三个数的和为$3$的倍数有多少种选法?
(4) 两两之差不小于$2$,有多少种选法?


参考答案

1.(1)(3).

提示 一个单调函数是保三角函数的充要条件是对任意定义域上的实数$a,b,c$,若$a+b>c$,则$f(a)+f(b)>f(c)$.(2)的反例为$a=b=\dfrac{5{\pi}}6$,而$c=\dfrac{\pi}2$.对于(1),当$a+b>c$时,有$$\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\geqslant \sqrt{a+b}>\sqrt c;$$对于(3),当$a+b>c,a,b,c\geqslant 2$时,有$(a-1)(b-1)\geqslant 1$知$ab\geqslant a+b$,从而有$$\ln a+\ln b=\ln(ab)\geqslant \ln(a+b)>\ln c.$$

2.$\left[\dfrac 43,2\right]$.

提示 可以建系处理,以$D$为原点,$AB,DC$分别为$x,y$轴建立空间直角坐标系,有$A(-1,0),B(1,0),C(0,2)$,可以设点$F(m,2-2m),F(n,2n+2)$,则题意有\[\begin{cases}|EF|^2=(m-n)^2+4(m+n)^2=1,\\\overrightarrow {DE}\cdot\overrightarrow {DF}=4n-4m+4-3mn\leqslant\dfrac {25}{16},\end{cases}\]而$\overrightarrow {EF}\cdot\overrightarrow {BA}=2(m-n)$,故令$m-n=x,m+n=y$,有$$x^2+4y^2=1,-4x-\dfrac {3(y^2-x^2)}{4}+\dfrac {39}{16}\leqslant 0,$$消去$y$得$15x^2-64x+36\leqslant 0$,解得$\dfrac 23\leqslant x\leqslant \dfrac {18}{5}$,而$-1\leqslant x\leqslant 1$,所以$\overrightarrow {EF}\cdot\overrightarrow {BA}=2x\in\left[\dfrac 43,2\right]$.

3.$\dfrac 32$.

显然$q$为有理数,设数列$a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}$为$$n^{2015}a,n^{2014}ma,\cdots ,m^{2015}a,$$其中$m,n,a$均为正整数,$n<m<2n$,且$m,n$互质.当$a_{2016}$最小时,$m=3$,$n=2$,$a=1$,于是$q=\dfrac 32$.

4.当$x=y$时,有$x^2+3x$是完全平方数,而$$(x+1)^2\leqslant x^2+3x<(x+2)^2,$$当$x=1$时左边不等式取到等号,此时$x^2+3x$是完全平方数,$(x,y)=(1,1)$.
当$x\ne y$时,不妨设$y<x$,则$$x^2<x^2+3y\leqslant x^2+3x<(x+2)^2,$$于是$$x^2+3y=(x+1)^2,$$于是$3y-2x=1$,进而$x=3k+1$,$y=2k+1$,其中$k\in\mathcal N$,从而$$y^2+3x=4k^2+13k+4\in \left((2k+2)^2,(2k+4)^2\right),$$于是$$4k^2+13k+4=(2k+3)^2,$$解得$k=5$,因此$(x,y)$为$(16,11)$或$(11,16)$.
综上知,$(x,y)$为$(1,1),(11,16),(16,11)$.

5.情形一 当$x$是无理数时,$f(x)<\dfrac{k}{k+1}$.

情形二 当$x$是有理数时,设$x=\dfrac pq$,$\dfrac {k-1}{k}<\dfrac pq<\dfrac{k}{k+1}$,所以$$pk-q(k-1)>0,qk-p(k+1)>0,$$即$$pk-q(k-1)\geqslant 1,qk-p(k+1)\geqslant 1,$$两式相加,可得$p\leqslant q-2$.

设$p=q-i,i\geqslant 2$,则由$\dfrac {k-1}{k}<\dfrac{q-i}{q}<\dfrac{k}{k+1}$得$ki<q<(k+1)i$,而$q$越大时,$f\left(\dfrac{q-i}{q}\right)=\dfrac{q-i+1}{q}$越大,所以取$q=(k+1)i-1$,从而有$$f\left(\dfrac {q-i}{q}\right)=\dfrac {ki}{(k+1)i-1}=\dfrac {k}{k+1}+\dfrac {\frac{k}{k+1}}{(k+1)i-1},$$ 在上式中,$i$越小,$f\left(\dfrac {q-i}{q}\right)$越大,所以当$i=2$时,有$f(x)$有最大值$\dfrac {2k}{2k+1}$,此时$p=2k-1$,$q=2k+1$.

综上所述,由于当$k\geqslant 1$时,$\dfrac{2k}{2k+1}>\dfrac{k}{k+1}$,因此所求的最大值为$\dfrac{2k}{2k+1}$,此时$x=\dfrac{2k-1}{2k+1}$.

6.(1) 当$n=1$时,有$$10a_1=\left(2a_1+1\right)\left(a_1+2\right),$$解得$a_1=2$.

当$n\geqslant 2$时,有$$10a_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)-\left(2a_{n-1}+1\right)\left(a_{n-1}+2\right),$$整理得$$\left(a_{n}+a_{n-1}\right)\left[2\left(a_{n}-a_{n-1}\right)-5\right]=0,$$于是$$a_n-a_{n-1}=\dfrac 52,$$从而可得$a_n=\dfrac{5n-1}2$,$n\in\mathcal N^*$.

(2) 不存在满足条件的正整数$m,n,k$.用反证法证明如下.

假设存在$m,n,k\in\mathcal N^*$,使得$2\left(a_m+a_n\right)=a_k$,则$$5m-1+5n-1=\dfrac{5k-1}2,$$即$$2m+2n-k=\dfrac 35,$$矛盾.因此不存在满足条件的正整数$m,n,k$.

(3) 根据题意,有$$b_n=2n+1,c_n=n+3,$$于是题中不等式可以转化为$$\dfrac 43\cdot \dfrac 65\cdot \dfrac 87\cdots \dfrac{2n+2}{2n+1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2n+3}}\geqslant \dfrac{\sqrt 5 m}{31},$$设不等式左边为$p_n$,则$$\dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{2n+4}{2n+3}\cdot\dfrac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+5}}=\sqrt{\dfrac{4n^2+16n+16}{4n^2+16n+15}}>1,$$于是$\{p_n\}$单调递增,从而题意即$$\dfrac{\sqrt 5m}{31}\leqslant p_1=\dfrac{4}{3\sqrt 5},$$解得$m\leqslant \dfrac{124}{15}$,于是正整数$m$的最大值为$8$.

7.(1) 考虑首项和末项的奇偶性必须相同,且首末项确定时数列确定,因此可以选出的等差数列个数为$${\rm A}_{50}^2+{\rm A}_{50}^2=4900.$$

(2) 可以选出的等比数列必然形如$m^2a,mna,n^2a$,其中$m,n,a$为正整数,且$m,n$互质,$m\neq n$.先考虑$m<n$的情形,可能的$(m,n)$有\[\begin{split} &(1,2),\\&(1,3),(2,3),\\&(1,4),(3,4),\\&(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),\\&(1,6),(5,6),\\&(1,7),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(6,7),\\&(1,8),(3,8),(5,8),(7,8),\\&(1,9),(2,9),(4,9),(5,9),(7,9),(8,9),\\&(1,10),(3,10),(7,10),(9,10).\end{split} \]对应的$a$个数为$$\left[\dfrac{100}{2^2}\right]+2\left[\dfrac{100}{3^2}\right]+2\left[\dfrac{100}{4^2}\right]+4\left[\dfrac{100}{5^2}\right]+2\left[\dfrac{100}{6^2}\right]+6\left[\dfrac{100}{7^2}\right]+4\left[\dfrac{100}{8^2}\right]+6\left[\dfrac{100}{9^2}\right]+4\left[\dfrac{100}{10^2}\right]=105.$$因此所有的等比数列的个数为$210$.

(3) $1,2,\cdots ,100$中模$3$余$0,1,2$的数分别有$33,34,33$个.因此所求的选法数为$${\rm C}_{33}^3+{\rm C}_{34}^3+{\rm C}_{33}^3+{\rm C}_{33}^1{\rm C}_{34}^1{\rm C}_{33}^1=53922.$$

(4) 从$1,2,\cdots ,98$中选出$3$个数从小到大排列,依次加上$0,1,2$即可,因此不同的选法总数共有${\rm C}_{98}^3=152096$.

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练习题集[80]基础练习》有一条回应

  1. lyg说:

    老师您好,这套题大概难度是什么水平?自主招生还是奥数水平?谢谢

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