每日一题[705]三次函数的性质

设关于$x$的方程$x(x-3)^2=m$有三个不同的实数解$a,b,c$,且$a<b<c$,则下列命题正确的是________.
(1) $abc$的取值范围是$(0,4)$;
(2) $a^2+b^2+c^2$为定值;
(3) $c-a$有最小值,没有最大值.


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分析与解 (1)(2).

(1) 由于函数$f(x)=x(x-3)^2$的极大值为$f(1)=4$,极小值为$f(3)=0$,于是$m$的取值范围是$(0,4)$.原方程即$x^3-6x^2+9x-m=0$,于是根据三次方程的韦达定理,有$$\begin{cases} a+b+c=6,\\ ab+bc+ca=9,\\ abc=m,\end{cases} $$因此$abc$的取值范围即$m$的取值范围,为$(0,4)$.

(2) $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=18$为定值.

(3) 易得$1<b<3$,而$a+c=6-b$,$ac=9-b(6-b)=b^2-6b+9$,于是\[\begin{split} c-a&=\sqrt{(a+c)^2-4ac}\\&=\sqrt{(6-b)^2-4(b^2-6b+9)}\\&=\sqrt{-3b^2+12b},\end{split} \]于是$c-a$的取值范围是$\left(3,2\sqrt 3\right]$,因此$c-a$没有最小值,有最大值.

 可以结合下图去感受一下$c-a$的最值:%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-11-14-%e4%b8%8a%e5%8d%8811-22-49

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