如图，四边形 $ABCD$ 和 $ADPQ$ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 $M$ 在线段 $PQ$ 上，$E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点．设异面直线 $EM$ 与 $AF$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha$ 的最大值为________．
已知$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且$a+c=2b$，求证：$\tan\dfrac A2\cdot \tan\dfrac C2\geqslant \tan^2\dfrac B2$．
将正偶数按照如下方式进行分组：
\[(2),\ (4,6),\ (8,10,12),\ \cdots,\]设第$n\ \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$组数的和为$a_n$，求数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和$S_n$．
在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱$AB$的中点为$P$．若光线从$P$出发，依次经过三个侧面$BCC_1B_1$，$DCC_1D_1$，$ADD_1A_1$反射后，落到侧面$ABB_1A_1$(不包括边界)，求入射光线$PQ$与侧面$BCC_1B_1$所成角的正切值的取值范围．
已知$a,b\in \mathbb R$且$0\leqslant a+b\leqslant 1$，函数$f(x)=x^2+ax+b$在区间$\left[-\dfrac 12,0\right]$上至少存在一个零点，求$a-2b$的取值范围．
定义$g(n)$为自然数$n$中所有因数中的最大奇数，求$$M(n)=g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^n-1\right)$$的值．
在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，$C\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，且$\triangle ABC$的面积为$2$，求$(c+a-b)(c+b-a)$的取值范围．
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已知函数$f(x)=\ln x+\dfrac ax$，其中$a>0$．
(1) 若函数$f(x)$有零点，求实数$a$的取值范围；
(2) 求证：当$a\geqslant \dfrac{2}{\rm e}$，$b>1$时，$f(\ln b)>\dfrac 1b$．
设$\triangle ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a\leqslant b\leqslant c$，定义$\triangle ABC$的倾斜度\[t=\max\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}\cdot \min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}.\]
(1) 若$\triangle ABC$为等腰三角形，求$\triangle ABC$的倾斜度；
(2) 若$a=1$，求$t$的取值范围．
已知函数$f(x)={\log_2}x-2{\log_2}(x+c)$，其中$c>0$．若对于任意的$x\in (0,+\infty)$，都有$f(x)\leqslant 1$，求实数$c$的取值范围．
