已知坐标平面 \(xOy\) 内椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）上一点 \(P(x_0,y_0)\)，\(F_1,F_2\) 是椭圆的两个焦点，过 \(F_1,F_2\) 作椭圆在 \(P\) 点处切线的垂线，垂足分别为 \(M,N\)．
（1）求证：点 \(M,N\) 在定圆上；
（2）求 \(MF_1\cdot NF_2\) 的值．
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每日一题[1054]正弦型函数
已知函数 \(f(x)=\sqrt 2a\sin\left(\omega\pi x+\varphi\right)\) 其中 \(a,\omega>0\)，\(|\varphi|\leqslant \dfrac {\pi}2\)，直线 \(y=a\) 与 \(f(x)\) 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是 \(2\) 和 \(4\)，现有如下命题：
① 该函数在 \([2,4]\) 上的值域是 \(\left[a,\sqrt 2a\right]\)；
② 在 \([2,4]\) 上，函数在 \(x=3\) 处取得最大值；
③ 该函数的最小正周期可以是 \(\dfrac 83\)；
④ 函数 \(f(x)\) 的图象可能过原点．
上述命题中，正确的命题是__________．
每日一题[1053]立体几何中的动态问题
在棱长 $1$ 为正四面体 $D-ABC$ 中，$O$ 为 $\triangle ABC$ 的中心，过点 $O$ 作直线分别与线段 $AC,BC$ 交于 $M,N$（可以是线段的端点），连接 $DM$，点 $P$ 为 $DM$ 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在某一位置，使得 $NP\perp$ 面 $DAC$
B．$\triangle DMN$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}4$
C．$\tan^2\angle DMN+\tan^2\angle DNM$ 的最小值为 $12$
D．棱锥 $D-MNC$ 与棱锥 $D-MNBA$ 的体积之比的取值范围是 $\left[\dfrac 45,1\right]$
每日一题[1052]贫富不悬殊
已知函数 \(f(x)=x+\dfrac ax\)（\(a>0\)），若对任意的 \(m,n,p\in\left[\dfrac 13,1\right]\)，长为 \(f(m),f(n),f(p)\) 的三条线段均可以构成三角形，则实数 \(a\) 的取值范围是_______．
每日一题[1051]三次函数的性质
已知函数 \(f(x)=x^3+px^2+qx\) 与 \(x\) 轴相切于点 \(\left(x_0,0\right)\)（\(x_0\ne 0\)），且极小值为 \(-4\)，则 \(p+q\) 的值是（ ）
A．\(12\)
B．\(13\)
C．\(15\)
D．\(16\)
每日一题[1050]和积相等
如果存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的和与乘积相等（$n=1$ 时它们的和与积就是自身），即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n,\]则称 $n$ 具有性质 $P$．
(1)求证：所有正整数都具有性质 $P$；
(2)若存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的和与乘积相等（$n=1$ 时它们的和与积就是自身）且恰好等于 $n$，即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n=n,\]则称 $n$ 具有性质 $Q$，求所有具有性质 $Q$ 的正整数构成的集合．
每日一题[1049]抓大放小
已知坐标平面 $xOy$ 上 $N$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 上的一个动点，平面内动点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $|y_0|\geqslant 1$ 且 $\angle OMN=30^\circ$，则动点 $M$ 运动的区域面积是______．
练习题集[98]不等式提高练习
1．已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$5+\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$．
每日一题[1048]互为因果
已知二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 满足 \(|f(0)|,|f(-1)|,|f(1)|\) 均不大于 \(1\)，则当 \(x\in [-1,1]\) 时，\(|f(x)|\) 的最大值 \(M(a,b,c)\) 的最大值是________．