2016年北京大学自主招生数学试题回忆版

一、选择题.在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.已知$\dfrac{\sin{x}}{\sqrt{1-\cos^2{x}}}-\dfrac{\cos{x}}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}=2\left(0<x<2\pi\right)$,则$x$的取值范围是(  )

A.$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$

B.$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$

C.$\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$

D.前三个答案都不对

2.$\left(2+1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{3}+1\right)\cdots\left(2^{2016}+1\right)$的个位数字是(  )

A.$1$

B.$3$

C.$5$

D.前三个答案都不对

3.点$P$位于$\triangle ABC$所在的平面内,使得$\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA$的面积相等,则满足题意的点$P$有(  )

A.$1$个

B.$3$个

C.$5$个

D.前三个答案都不对

4.记$f(n)$为最接近$\sqrt{n}$的整数,其中$n\in \mathbf{N}^{*}$.若$\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=2016$,则正整数$m$的值为(  )

A.$1015056$

B.$1017072$

C.$1019090$

D.前三个答案都不对

5.实数$x,y,z$满足$x+y+z=2016$,$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2016}$,则$(x-2016)(y-2016)(z-2016)=$(  )

A.$0$

B.$1$

C.$-1$

D.前三个答案都不对

6.方程组$\begin{cases}a^3-b^3-c^3=3abc,\\a^2=2(b+c)\end{cases}$的非负整数解有(  )

A.$1$组

B.$4$组

C.$5$组

D.前三个答案都不对

7.$4$个半径为$1$的球两两外切,则这$4$个球的外切正四面体的棱长为(  )

A.$2+2\sqrt{2}$

B.$2+2\sqrt{3}$

C.$2+2\sqrt{6}$

D.前三个答案都不对

8.将$1,2,\cdots,100$分成三组,使得第一组数的和为$102$的倍数,第二组数的和为$203$的倍数,第三组和为$304$的倍数.则不同的分法共有(  )

A.$1$种

B.$2$种

C.$3$种

D.前三个答案都不对

二、填空题.

9.已知$f(x)=3x^2-x+4$,$g(x)$为整系数多项式,$f\left(g(x)\right)=3x^4+18x^3+50x^2+69x+a,$则$g(x)$的各项系数之和为_______.

10.$54$张扑克牌排成一列.先去掉第一张,将第二张放到最后;再去掉第三张,将第四张放到最后……以此类推,则最后剩下的那张牌是原先的第_______张.

11.用高斯函数$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数,则方程$n\left[2002\sqrt{2001^2+1}\right]=2002\left[n\sqrt{2001^2+1}\right]$的正整数解有_______个.

12.空间中的一点$P(x,y,z)$满足$\exists n\in \mathbf N^*$,使得$|3x|^n+|8y|^n+|z|^n \leqslant 1$成立,则所有满足要求的点$P$所形成的空间几何体的体积为_______.


参考答案与解析

1.B.

根据题意,有$\sin x>0$,$\cos x<0$,于是$x$是第二象限的角.

2.C.

因为$2^2+1=5$,且对于任意正整数$k$,都有$2^k+1$为奇数,所以
\[\left(2+1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{3}+1\right)\cdots\left(2^{2016}+1\right)\equiv 5 \pmod{10}.\]
3.D.

考虑到平面内使$\triangle PAB$和$\triangle PBC$的面积相等的点的轨迹为直线$BM$以及过点$B$且与$AC$平行的直线,其中$M$为边$AC$的中点,因此满足题意的点$P$有$4$个:$\triangle ABC$的重心,或者由$P,A,B,C$四点所构成的平行四边形的顶点.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-21-%e4%b8%8b%e5%8d%883-04-124.B.

若$f(n)=k$,则$$k^2-k+1 \leqslant n \leqslant k^2+k,$$所以\[\begin{split} &f(1)=f(2)=1,\\ &f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=2,\\ &\cdots ,\end{split} \]进而有
$$2016=\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=2\cdot 1+4\cdot \dfrac{1}{2}+6\cdot\dfrac{1}{3}+\cdots+2016\cdot\dfrac{1}{1008},$$
故$m=2+4+6+\cdots+2016=1017072$.

5.A.

由于\[\begin{split} (x-m)(y-m)(z-m)&=xyz-m(xy+yz+zx)+m^2(x+y+z)-m^3,\\&=mxyz\left[\dfrac 1m-\left(\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z\right)\right]+m^2\left[(x+y+z)-m\right],\end{split} \]于是所求代数式的值为$0$

6.B.

根据题意,有\[\begin{split} a^3-b^3-c^3-3abc&= a^3-(b+c)^3+3bc(b+c-a)\\&=a^3-\dfrac 18a^6+3bc\left(\dfrac 12a^2-a\right),\\&=a\left(1-\dfrac 12a\right)\left[a^2\left(1+\dfrac 12a+\dfrac 14a^2\right)-3bc\right]\\&=0,\end{split} \]
当$a=0$时,$(b,c)=(0,0)$;当$a=2$时,$(b,c)=(0,2),(1,1),(2,0)$.当$a\ne 0,2$时,有
$$a^2\left(1+\dfrac 12a+\dfrac 14a^2\right)-3bc>\dfrac 14a^4-3bc=(b+c)^2-3bc\geqslant 0,$$于是题中方程组的非负整数解共有$4$组.

7.C.

棱长为$a$的正四面体的内切球半径为$\dfrac{\sqrt{6}}{12}a$.设$4$个半径为$1$的球的球心分别为$O_1,O_2,O_3,O_4$,则正四面体$O_1O_2O_3O_4$的棱长为$2$,故其内切球半径为$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.设这$4$个球的外切正四面体为$ABCD$,则正四面体$ABCD$的内切球半径为$1+\dfrac{\sqrt{6}}{6}$,故正四面体$ABCD$的棱长为$2+2\sqrt{6}$.

8.D.

假设这样的分法存在,设三组数的和分别为$102x,203y,304z$,$x,y,z\in \mathbf{N}^{*}$,则$$102x+203y+304z=5050,$$
即$$101(x+2y+3z)+(x+y+z)=101\cdot 50,$$于是$$101\mid x+y+z,$$
因此$x+y+z \geqslant 101$.而此时$$102x+203y+304z>102(x+y+z)>5050,$$矛盾.故不存在满足题意的分法.

9.$8$.

易知$g(x)$为二次多项式,设$g(x)=px^2+qx+r$,则
$$f(g(x))=3g^2(x)-g(x)+4=3p^2x^4+6pqx^3+\left(3q^2+6pr-p\right)x^2+(6qr-q)x+3r^2-r+4,$$对比系数,依次解得$p=1$,$q=3$,$r=4$,$a=48$.故$g(x)$的各项系数之和为$8$.

10.$44$.

每一轮剩下的牌依次是\[\begin{split} &2,4,6,\cdots ,52,54,\\&4,8,12,\cdots ,48,52,\\&4,12,20,\cdots ,44,52,\\&12,28,44,\\&12,44,\\&44.\end{split} \]
11.$4002$.

因为$$2002\cdot 2001<2002\sqrt{2001^2+1}<2002\cdot 2001+1,$$所以$\left[2002\sqrt{2001^2+1}\right]=2002\cdot 2001$.于是原方程等价于$$\left[n\sqrt{2001^2+1}\right]=2001n,$$即$$2001n \leqslant n\sqrt{2001^2+1}<2001n+1,$$解得$n<\sqrt{2001^2+1}+2001$,所以原方程的正整数解有$4002$组.

12.$\dfrac{1}{3}$.

考虑第一卦限,只需要$3x,8y,z\in (0,1)$即可.因此所有满足要求的点$P$所形成的空间几何体为一个长方体,体积为$$\dfrac 13\cdot \dfrac 18\cdot 1\cdot 8=\dfrac 13.$$

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