每日一题[706]新性质探索——E数列

(2011年北京卷)若数列$A_n:a_1,a_2,\cdots ,a_n$($n\geqslant 2$)满足$\left|a_{k+1}-a_k\right|=1$($k=1,2,\cdots ,n-1$),则称$A_n$为$E$数列.记$S(A_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n$.
(1) 写出一个满足$a_1=a_5=0$,且$S(A_3)>0$的$E$数列$A_5$;
(2) 若$a_1=12$,$n=2000$,证明:$E$数列$A_n$是递增数列的充要条件是$a_n=2011$;
(3) 对任意给定的整数$n$($n\geqslant 2$),是否存在首项为$0$的$E$数列$A_n$,使得$S(A_n)=0$.如果存在,写出一个满足条件的$E$数列$A_n$;如果不存在,说明理由.


cover

分析与解 (1) $0,1,2,1,0$;

(2) 由于$\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1$,于是$a_{k+1}-a_k\leqslant 1$,等号取得的条件是$a_{k+1}>a_k$,其中$k=1,2,\cdots ,n$.累加可得$$a_{2000}-a_1\leqslant 1999,$$等号当且仅当$$a_{2000}>a_{1999}>a_{1998}>\cdots >a_1$$时取得,因此原命题得证.

(3) 显然当$i$是奇数时,$a_i$是偶数;当$i$是偶数时,$a_i$是奇数,其中$i=1,2,\cdots ,n$.因此若$S\left(A_n\right)=0$,则$n\equiv 0,1\pmod{4}$,否则$S\left(A_n\right)$为奇数.当$n\equiv 0\pmod{4}$时,满足条件的一个$A_n$是$$\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1};$$当$n\equiv 1\pmod{4}$时,满足条件的一个$A_n$是$$\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1},0;$$当$n\equiv 2,3\pmod{4}$时,不存在满足条件的$E$数列$A_n$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论