2016年清华大学自主招生暨领军计划试题(回忆版)

原卷$40$道题均为不定项选择题.这里收录的是回忆版试题,故将部分选择题改编为填空题.

1.已知函数$f(x)=\left(x^2+a\right)\mathrm{e}^x$有最小值,则函数$g(x)=x^2+2x+a$的零点个数为(  )

A.$0$

B.$1$

C.$2$

D.取决于$a$的值

2.已知$\triangle ABC$的三个角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$.下列条件中,能使得$\triangle ABC$的形状唯一确定的有(  )

A.$a=1,\ b=2,\ c\in\mathbf{Z}$

B.$A=150^\circ,\ a\sin{A}+c\sin{C}+\sqrt{2}a\sin{C}=b\sin{B}$

C.$\cos{A}\sin{B}\cos{C}+\cos{(B+C)}\cos{B}\sin{C}=0,\ C=60^\circ$

D.$a=\sqrt{3},\ b=1,\ A=60^\circ$

3.已知函数$f(x)=x^2-1$,$g(x)=\ln{x}$.下列说法中正确的有(  )

A.$f(x)$与$g(x)$在点$(1,0)$处有公切线

B.存在$f(x)$的某条切线与$g(x)$的某条切线互相平行

C.$f(x)$与$g(x)$有且只有一个交点

D.$f(x)$与$g(x)$有且只有两个交点

4.过抛物线$y^2=4x$的焦点$F$作直线交抛物线于$A,B$两点,$M$为线段$AB$的中点.下列说法中正确的有(  )

A.以线段$AB$为直径的圆与直线$x=-\dfrac{3}{2}$一定相离

B.$|AB|$的最小值为$4$

C.$|AB|$的最小值为$2$

D.以线段$BM$为直径的圆与$y$轴一定相切

5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点,$P$是椭圆$C$上一点.下列说法中正确的有(  )

A.$a=\sqrt{2}b$时,满足$\angle F_1PF_2=90^\circ$的点$P$有$2$个

B.$a>\sqrt{2}b$时,满足$\angle F_1PF_2=90^\circ$的点$P$有$4$个

C.$\triangle PF_1F_2$的周长小于$4a$

D.$\triangle PF_1F_2$的面积小于等于$\dfrac{a^2}{2}$

6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两人获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测.
甲:两名获奖者在乙、丙、丁中;
乙:我没有获奖,丙获奖了;
丙:甲、丁中有且只有一人获奖;
丁:乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两名获奖者是(  )

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

7.已知$AB$为圆$O$的一条弦(非直径),$OC\perp AB$于$C$.$P$为圆$O$上任意一点,直线$PA$与直线$OC$相交于点$M$,直线$PB$与直线$OC$相交于点$N$.以下说法正确的有(  )

A.$O,M,B,P$四点共圆

B.$A,M,B,N$四点共圆

C.$A,O,P,N$四点共圆

D.前三个选项都不对

8.$\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}>\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}$是$\triangle ABC$为锐角三角形的(  )

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

9.已知$x,y,z$为正整数,$x\leqslant y\leqslant z$,那么方程$\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z=\dfrac 12$的解的组数为(  )

A.$8$
B.$10$
C.$11$
D.$12$

10.已知集合$A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$,任取$1\leqslant i<j<k \leqslant n$,\[a_i+a_j\in A,\ a_j+a_k\in A,\ a_k+a_i\in A\]这三个式子中至少有一个成立,则$n$的最大值为(  )

A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$

11.已知$\alpha=1^\circ$,$\beta=61^\circ$,$\gamma=121^\circ$,则下列各式中成立的有(  )

A.$\tan{\alpha}\tan{\beta}+\tan{\beta}\tan{\gamma}+\tan{\gamma}\tan{\alpha}=3$

B.$\tan{\alpha}\tan{\beta}+\tan{\beta}\tan{\gamma}+\tan{\gamma}\tan{\alpha}=-3$

C.$\dfrac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma}}{\tan{\alpha}\tan{\beta}\tan{\gamma}}=3$

D.$\dfrac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma}}{\tan{\alpha}\tan{\beta}\tan{\gamma}}=-3$

12.已知实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$,则$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}$的最大值与最小值乘积属于区间(  )

A.$(11,12)$
B.$(12,13)$
C.$(13,14)$
D.$(14,15)$

13.已知$x,y,z\in \mathbf{R}$,满足$x+y+z=1,\ x^2+y^2+z^2=1$,则下列结论正确的有(  )

A.$xyz$的最大值为$0$

B.$xyz$的最小值为$-\dfrac{4}{27}$

C.$z$的最大值为$\dfrac{2}{3}$

D.$z$的最小值为$-\dfrac{1}{3}$

14.数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}=6a_{n+1}-a_{n}\left(n\in\mathbf{N}^{*}\right)$.对任意正整数$n$,以下说法中正确的有(  )

A.$a_{n+1}^2-a_{n+2}a_{n}$为定值

B.$a_n\equiv 1\pmod 9$或$a_n\equiv 2\pmod 9$

C.$4a_na_{n+1}-7$为完全平方数

D.$8a_na_{n+1}-7$为完全平方数

15.若复数$z$满足$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=1$,则$|z|$可以取到的值有(  )

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$-\dfrac{1}{2}$

C.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

D.$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

16.从正$2016$边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,其中正多边形的个数为(  )

A.$6552$
B.$4536$
C.$3528$
D.$2016$

17.已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$l_1:y=\dfrac 12x$,$l_2:y=-\dfrac 12x$,过椭圆上一点$P$作$l_1,l_2$的平行线,分别交$l_1,l_2$于$M,N$两点.若$|MN|$为定值,则$\sqrt{\dfrac ab}=$(  )

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{5}$

18.关于$x,y$的不定方程$x^2+615=2^y$的正整数解的组数为(  )

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

19.因为实数的乘法满足交换律与结合律,所以若干个实数相乘的时候,可以有不同的次序.例如,三个实数$a,b,c$相乘的时候,可以有$(ab)c,\ (ba)c,\ c(ab),\ b(ca)\cdots$等等不同的次序.记$n$个实数相乘时不同的次序有$I_n$种,则(  )

A.$I_2=2$

B.$I_3=12$

C.$I_4=96$

D.$I_5=120$

20.甲乙丙丁$4$个人进行网球淘汰赛,规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛,两组的胜者争夺冠军.$4$个人相互比赛时的胜率如下表所示:%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-21-%e4%b8%8b%e5%8d%881-48-03表中的每个数字表示其所在行的选手击败其所在列的选手的概率,例如甲击败乙的概率是$0.3$,乙击败丁的概率是$0.4$.那么甲赢得冠军的概率是________.

21.在正三棱锥$P-ABC$中,$\triangle ABC$的边长为$1$.设点$P$到平面$ABC$的距离为$x$,异面直线$AB$与$CP$的距离为$y$,则$\displaystyle\lim_{x\to\infty}y=$________.

22.如图,正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$,中心为$O$,$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{A_1E}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{A_1A}$,则四面体$OEBF$的体积为________.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-21-%e4%b8%8b%e5%8d%881-48-1223.$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(x-\pi\right)^{2n-1}\left(1+\sin^{2n}{x}\right){\rm d} x=$________.

24.实数$x,y$满足$\left(x^2+y^2\right)^3=4x^2y^2$,则$x^2+y^2$的最大值为________.

25.$x,y,z$均为非负实数,满足$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{27}{4}$,则$x+y+z$的最大值为________,最小值为________.

26.$O$为$\triangle ABC$内一点,满足$S_{\triangle AOB}:S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}=4:3:2$.设$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$,则$\lambda+\mu=$________.

27.已知复数$z=\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{2\pi}{3}}$,则$z^3+\dfrac{z^2}{z^2+z+2}=$________.

28.已知$z$为非零复数,$\dfrac{z}{10}$和$\dfrac{40}{\overline{z}}$的实部和虚部均为不小于$1$的正数,则在复平面中,$z$所对应的向量$\overrightarrow{OP}$的端点$P$运动所形成的图形面积为________.

29.若$\tan{4x}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,则$\dfrac{\sin{4x}}{\cos{8x}\cos{4x}}+\dfrac{\sin{2x}}{\cos{4x}\cos{2x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{2x}\cos{x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}=$________.

30.将$16$个数:$4$个$1$,$4$个$2$,$4$个$3$,$4$个$4$填入一个$4\times 4$的数表中,要求每行、每列都恰好有两个偶数,共有________种填法.

31.$A$是集合$\left\{1,2,3,\cdots,14\right\}$的子集,从$A$中任取$3$个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则$A$中元素个数的最大值为________.

 


答案及解析

1.C.

注意$f'(x)={\rm e}^x\cdot g(x)$. 

2.AD.

对于选项A,由于$|a-b|<c<a+b$,于是$c$有唯一取值$2$,符合题意;
对于选项B,根据正弦定理,有$$a^2+c^2+\sqrt 2ac=b^2,$$于是可得$\cos B=-\dfrac{\sqrt 2}{2}$,$B=135^\circ$,无解;
对于选项C,条件即$$\cos A\cdot \sin (B-C)=0,$$于是$(A,B,C)=\left(90^\circ,30^\circ,60^\circ\right),\left(60^\circ,60^\circ,60^\circ\right)$,不符合题意;
对于选项D,根据正弦定理,有$\sin B=\dfrac 12$,又$A=60^\circ$,于是$B=30^\circ$,$C=90^\circ$,符合题意.

3.BD.

注意$y=x-1$为函数$g(x)$在点$(1,0)$处的切线,如图.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-21-%e4%b8%8b%e5%8d%881-47-244.AB.

对于选项A,点$M$到准线$x=-1$的距离为$\dfrac 12\left(|AF|+|BF|\right)=\dfrac 12|AB|$,于是以线段$AB$为直径的圆与直线$x=-1$一定相切,进而与直线$x=-\dfrac 32$一定相离;
对于选项B和C,设$A\left(4a^2,4a\right)$,则$B\left(\dfrac{1}{4a^2},-\dfrac 1a\right)$,于是$|AB|=4a^2+\dfrac{1}{4a^2}+2$,最小值为$4$;
对于选项D,显然$BD$中点的横坐标与$\dfrac 12|BM|$不一定相等,因此命题错误.

5.ABCD.

对于选项A和B,椭圆中使得$\angle F_1PF_2$最大的点$P$位于短轴的两个端点;
对于选项C,$\triangle F_1PF_2$的周长为$2a+2c<4a$;
对于选项D,$\triangle F_1PF_2$的面积为$$\dfrac 12 \sin\angle F_1PF_2\cdot |PF_1|\cdot |PF_2|\leqslant \dfrac 12\left(\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}2\right)^2=\dfrac 12a^2.$$

6.BD.

乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可.

7.AC.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-21-%e4%b8%8b%e5%8d%881-47-35对于选项A,$\angle OBM=\angle OAM=\angle OPM$即得;
对于选项B,若命题成立,则$MN$为直径,必然有$\angle MAN$为直角,不符合题意;
对于选项C,$\angle MBN=\angle MOP=\angle MAN$即得.

8.B.

必要性:
由于$$\sin B+\sin C>\sin B+\sin\left(\dfrac{\pi}2-B\right)=\sin B+\cos B>1,$$类似的,有$\sin C+\sin A>1$,$\sin A+\sin B>1$,于是
\[\begin{split} \sin A+\sin B+\sin C&=\sin (B+C)+\sin (C+A)+\sin (A+B)\\&=\sum_{cyc}\left(\sin B+\sin C\right)\cos A\\&>\cos A+\cos B+\cos C.\end{split} \]不充分性:
当$A=\dfrac{\pi}2$,$B=C=\dfrac{\pi}4$时,不等式成立,而$\triangle ABC$并非锐角三角形.

9.B.

由于$\dfrac 12=\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z\leqslant \dfrac{3}{x}$,故$3\leqslant x \leqslant 6$.

情形一 若$x=3$,则$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{6}$,即$(y-6)(z-6)=36$,解得$$(x,y,z)=(3,7,42),\ (x,y,z)=(3,8,24),\ (x,y,z)=(3,9,18),\ (x,y,z)=(3,10,15),\ (x,y,z)=(3,12,12).$$情形二 若$x=4$,则$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4}$,即$(y-4)(z-4)=16$,解得$$(x,y,z)=(4,5,20),\ (x,y,z)=(4,6,12),\ (x,y,z)=(4,8,8). $$情形三 若$x=5$,则$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{10}$,此时有$$\dfrac{3}{10}=\dfrac 1y+\dfrac 1z\leqslant \dfrac 2y,$$于是$y\leqslant \dfrac{20}3$,从而$y=5,6$,进而解得$$(x,y,z)=(5,5,10).$$情形四 若$x=6$,则$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{3}$,即$(y-3)(z-3)=9$,解得$$(x,y,z)=(6,6,6). $$
10.B.

不妨假设$a_1>a_2>\cdots>a_n$.若集合$A$中的正数的个数大于等于$4$,由于$a_2+a_3$和$a_2+a_4$均大于$a_2$,于是有$$a_2+a_3=a_2+a_4=a_1,$$所以$a_3=a_4$,矛盾.所以集合$A$中至多有$3$个正数.同理可知集合$A$中至多有$3$个负数.取$A=\left\{3,2,1,0,-1,-2,-3\right\}$,满足题意,所以$n$的最大值为$7$.

11.BD.

令$x=\tan{\alpha}$,$y=\tan{\beta}$,$z=\tan{\gamma}$,则
$$\dfrac{y-x}{1+xy}=\dfrac{z-y}{1+yz}=\dfrac{x-z}{1+zx}=\sqrt{3},$$
所以$$y-x=\sqrt{3}\left(1+xy\right),z-y=\sqrt{3}\left(1+yz\right),x-z=\sqrt{3}\left(1+zx\right),$$以上三式相加,即有$$xy+yz+zx=-3.$$
类似的,有$$\dfrac 1x-\dfrac 1y=\sqrt 3\left(\dfrac 1{xy}+1\right),\dfrac 1y-\dfrac 1z=\sqrt 3\left(\dfrac 1{yz}+1\right),\dfrac 1z-\dfrac 1x=\sqrt 3\left(\dfrac 1{zx}+1\right),$$以上三式相加,即有$$\dfrac 1{xy}+\dfrac 1{yz}+\dfrac 1{zx}=\dfrac{x+y+z}{xyz}=-3.$$
12.B.

设函数$f(x)=\sqrt{4x+1}$的图象,则其导函数$$f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}.$$作出函数$f(x)$的图象,函数$f(x)$的图象在$x=\dfrac 13$处的切线$y=\dfrac{2\sqrt{21}}7\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac{\sqrt{21}}3$,以及函数$f(x)$的图象过点$\left(-\dfrac 14,0\right)$和$\left(\dfrac 32,\sqrt 7\right)$的割线$y=\dfrac{4}{\sqrt 7}x+\dfrac{1}{\sqrt 7}$,如图.
%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-21-%e4%b8%8b%e5%8d%881-47-47于是可得$$\dfrac{4}{\sqrt 7}x+\dfrac{1}{\sqrt 7}\leqslant \sqrt{4x+1}\leqslant \dfrac{2\sqrt{21}}7\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac{\sqrt{21}}3,$$左侧等号当$x=-\dfrac 14$或$x=\dfrac 32$时取得;右侧等号当$x=\dfrac 13$时取得.因此原式的最大值为$\sqrt{21}$,当$a=b=c=\dfrac 13$时取得;最小值为$\sqrt{7}$,当$a=b=-\dfrac 14$,$c=\dfrac 32$时取得.从而原式最大值与最小值的乘积为$7\sqrt{3}=\sqrt{147}\in(\sqrt{144},\sqrt{169})$.

13.ABD.
由$x+y+z=1,\ x^2+y^2+z^2=1$,可知$xy+yz+zx=0$.设$xyz=c$,则$x,y,z$是关于$t$的方程$$t^3-t^2-c=0$$的三个实根.令$f(t)=t^3-t^2-c$,利用导数可得$$\begin{cases}f\left(0\right)=-c\geqslant 0,\\f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{4}{27}-c\leqslant 0,\end{cases}$$所以$-\dfrac{4}{27}\leqslant c=xyz \leqslant 0$,等号显然可以取到.故选项A,B都对.因为$$(x+y)^2=(1-z)^2\leqslant 2\left(x^2+y^2\right)=2\left(1-z^2\right),$$所以$-\dfrac{1}{3}\leqslant z \leqslant 1$,等号显然可以取到.故选项C错,选项D对.

14.ACD.

因为\[\begin{split}a_{n+2}^2-a_{n+3}a_{n+1}&=a_{n+2}^2-\left(6a_{n+2}-a_{n+1}\right)a_{n+1}\\&=a_{n+2}^2-6a_{n+2}a_{n+1}+a_{n+1}^2\\&=a_{n+2}\left(a_{n+2}-6a_{n+1}\right)+a_{n+1}^2\\&=a_{n+1}^2-a_{n+2}a_{n}, \end{split}\]所以A正确.

由于$a_3=11$,故\[\begin{split}a_{n+1}^2-a_{n+2}a_{n}&=a_{n+1}^2-\left(6a_{n+1}-a_n\right)a_{n}\\&=a_{n+1}^2-6a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2\\&=-7\end{split}\]
对任意正整数恒成立,所以$4a_na_{n+1}-7=\left(a_{n+1}-a_{n}\right)^2$,$8a_na_{n+1}-7=\left(a_{n+1}+a_{n}\right)^2$,故C, D正确.

计算前几个数即可判断B错误.

 若数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_{n}\left(n\in\mathbf{N}^{*}\right)$,则$a_{n+1}^2-a_{n+2}a_{n}$为定值.

15.CD.

因为$$\left||z|-\dfrac{1}{|z|}\right|\leqslant\left|z+\dfrac{1}{z}\right|=1,$$故$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leqslant |z|\leqslant\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$,等号分别当$z=\dfrac{\sqrt 5+1}2{\rm i}$和$z=\dfrac{\sqrt 5-1}2{\rm i}$时取得.

16.C.

从$2016$的约数中去掉$1,2$,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从$2016$个顶点中选出$k$个构成正多边形,这样的正多边形有$\dfrac{2016}k$个,因此所求的正多边形的个数就是$2016$的所有约数之和减去$2016$和$1008$.考虑到$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$,因此所求正多边形的个数为\[(1+2+4+8+16+32)\cdot (1+3+9)\cdot (1+7)-2016-1008=3528.\]
17.C.

设$P$点坐标为$\left(x_0,y_0\right)$,可得\[M\left(\dfrac{1}{2}x_0+y_0,\dfrac{1}{4}x_0+\dfrac{1}{2}y_0\right),\ N\left(\dfrac{1}{2}x_0-y_0,-\dfrac{1}{4}x_0+\dfrac{1}{2}y_0\right),\]故\[|MN|=\sqrt{\dfrac{1}{4}x_0^2+4y_0^2}\]为定值,所以
\[\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16,\]故$\sqrt{\dfrac ab}=2$.

 (1) 若将两条直线的方程改为$y=\pm kx$,则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{1}{k}$;
(2) 两条相交直线上各取一点$M,N$,使得$|MN|$为定值,则线段$MN$中点$Q$的轨迹为圆或者椭圆.

18.B.

方程两边同时模$3$,可得$x^2\equiv 2^y \pmod 3$.因为$3 \nmid 2^y$,故$3 \nmid x^2$,所以\[x^2\equiv 1\pmod 3,\]故\[2^y\equiv 1\pmod 3,\]所以$y$是偶数.设$y=2m \left(m\in \mathbf{N}^{*}\right)$,则\[\left(2^m-x\right)\left(2^m+x\right)=615=3\cdot 5\cdot 41,\]解得$\begin{cases}2^m-x=5,\\2^m+x=123,\end{cases}$即$\begin{cases}x=59,\\y=12.\end{cases}$

19.AB.

根据卡特兰数的定义,可得$$I_n=C_{n-1}\cdot {\rm A}_n^n = \dfrac{1}{n}\cdot{\rm C}_{2n-2}^{n-1}\cdot n!=(n-1)!\cdot {\rm C}_{2n-2}^{n-1}.$$关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利

20.$0.165$.

根据概率的乘法公式,所求概率为$$0.3\cdot \left(0.5\cdot 0.3+0.5\cdot 0.8\right)=0.165.$$
21.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

当$x\to +\infty$时,$CP$趋于与平面$ABC$垂直,所求极限为$\triangle ABC$中$AB$边上的高,为$\dfrac{\sqrt 3}2$.

22.$\dfrac{1}{96}$.如图.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-21-%e4%b8%8b%e5%8d%881-48-20有$$V_{OEBF}=V_{O-EBF}=\dfrac 12\cdot V_{G-EBF}=\dfrac 12\cdot V_{E-GBF}=\dfrac 12\cdot \dfrac{1}{16}V_{E-BCC_1B_1}=\dfrac{1}{96}.$$
23.$0$.

根据题意,有$$\int_{0}^{2\pi}\left(x-\pi\right)^{2n-1}\left(1+\sin^{2n}{x}\right){\rm d}x=\int_{-\pi}^{\pi}x^{2n-1}\left(1+\sin^{2n}x\right){\rm d}x=0.$$
24.$1$.

根据题意,有$$\left(x^2+y^2\right)^3=4x^2y^2\leqslant \left(x^2+y^2\right)^2,$$于是$x^2+y^2\leqslant 1$,等号当$x^2=y^2=\dfrac 12$时取得,因此所求的最大值为$1$.

25.$\dfrac{3}{2}$,$\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$.

由柯西不等式可知,当且仅当$(x,y,z)=\left(1,\dfrac{1}{2},0\right)$时,$x+y+z$取到最大值$\dfrac{3}{2}$.

根据题意,有$$x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=\dfrac{13}4,$$于是$$\dfrac{13}4\leqslant (x+y+z)^2+3(x+y+z),$$解得$$x+y+z\geqslant \dfrac{\sqrt {22}-3}2,$$于是$x+y+z$的最小值当$(x,y,z)=\left(0,0,\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}\right)$时取得,为$\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$.

26.$\dfrac 23$.

根据奔驰定理,有$$\lambda+\mu=\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}.$$
27.$\cos\dfrac{5\pi}3+{\rm i}\sin\dfrac{5\pi}3$.

根据题意,有$$z^3+\dfrac{z^2}{z^2+z+2}=1+z^2=-z=\cos\dfrac{5\pi}3+{\rm i}\sin\dfrac{5\pi}3.$$
28.$\dfrac{200\pi}3+100\sqrt 3-300$.

设$z=x+y{\rm i}$,其中$x,y\in\mathbf R$.由于$\dfrac{40}{\bar z}=\dfrac{40z}{|z|^2}$,于是$$\begin{cases} \dfrac x{10}\geqslant 1,\dfrac y{10}\geqslant 1,\\ \dfrac{40x}{x^2+y^2}\geqslant 1,\dfrac{40y}{x^2+y^2}\geqslant 1,\end{cases} $$如图.%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-21-%e4%b8%8b%e5%8d%881-48-34弓形面积为$$\dfrac 12\cdot 20^2\cdot \left(\dfrac{\pi}6-\sin\dfrac{\pi}6\right)=\dfrac{100\pi}3-100,$$四边形$ABCD$的面积为$$2\cdot\dfrac 12\left(10\sqrt 3-10\right)\cdot 10=100\sqrt 3-100,$$于是所求面积为$$2\left(\dfrac{100\pi}3-100\right)+\left(100\sqrt 3-100\right)=\dfrac{200\pi}3+100\sqrt 3-300.$$
29.$\sqrt 3$.

根据题意,有\[\begin{split}&\dfrac{\sin{4x}}{\cos{8x}\cos{4x}}+\dfrac{\sin{2x}}{\cos{4x}\cos{2x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{2x}\cos{x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\\=&(\tan{8x}-\tan{4x})+(\tan{4x}-\tan{2x})+(\tan{2x}-\tan{x})+\tan{x}\\=&\tan{8x}\\=&\sqrt{3}.\end{split}\]
30.$441000$.

首先确定偶数的位置有多少种选择.

第一行两个偶数有$\mathrm{C}_{4}^{2}$种选择,下面考虑这两个偶数所在的列,每列还需再填一个偶数,设为$a,b$.

情形一 若$a,b$位于同一行,它们的位置有$3$种选择,此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定.

情形二 若$a,b$位于不同的两行,它们的位置有$6$种选择,此时剩下的四个偶数所填的位置有$2$种选择.

所以偶数的不同位置数为$$\mathrm{C}_{4}^{2}\cdot \left(3+6\cdot 2\right)=90,$$因此总的填法数位$$90\cdot\mathrm{C}_{8}^{4}\cdot\mathrm{C}_{8}^{4}=441000.$$
31.$8$.

一方面,设$A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_k\right\}$,其中$k\in \mathbf{N}^{*}$,$1\leqslant k \leqslant 14$.不妨假设$a_1<a_2<\cdots<a_{k}$.若$k \geqslant 9$,由题意,$a_3-a_1\geqslant 3$,$a_5-a_3\geqslant 3$,且$a_5-a_3\ne a_3-a_1$,故$$a_5-a_1\geqslant 7,$$同理,$a_9-a_5\geqslant 7$,又因为$a_9-a_5\ne a_5-a_1$,所以$a_9-a_1\geqslant 15$,矛盾.故$k \leqslant 8$.

另一方面,取$A= \left\{1,2,4,5,10,11,13,14\right\}$,满足题意.

综上所述,$A$中元素个数的最大值为$8$.

点击此处下载pdf.

此条目发表在自招竞赛分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论