每日一题[1201]灵活卡位

已知递增数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数,且 $a_{a_n}=3n$,记 $b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}$,则数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为(       )

A.$2^n+n$

B.$2^{n+1}-1$

C.$\dfrac{3^{n+1}-3n}2$

D.$\dfrac{3^{n+1}-3}2$

    D.

根据题意,有\[a_{a_1}=3,\]于是 $a_1\ne 1$,从而 $a_1\geqslant 2$,进而\[a_n\geqslant n+1.\]若 $a_1\geqslant 3$,则\[a_{a_1}\geqslant a_3\geqslant 4,\]矛盾,因此 $a_1=2$. 进而 $a_2=3$,$a_{a_2}=a_3=6$,$a_{a_3}=a_6=9$,注意到\[\left\{a_3,a_4,a_5,a_6\right\}=\{6,7,8,9\},\]于是当 $3^1\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^1$ 时,有\[a_n=n+3^1,\]进而\[a_{a_6}=a_9=18,a_{a_9}=a_{18}=27,\]于是当 $3^2\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^2$ 时,有\[a_n=n+3^2,\]依次类推,当 $3^k\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^k$ 时,有\[a_n=n+3^k.\]因此\[b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}=2\cdot 3^{n-1}+3^{n-1}=3^n,\]其前 $n$ 项和\[S_n=\dfrac{3^{n+1}-3}{2}.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论