每日一题[1271]抓住指数

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$,记 $n^{{(n+1)}^{n+2}}$ 的末位数字为 $a_n$,则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2018$ 项和的末位数字是(       )

A.$3$

B.$5$

C.$7$

D.$9$

答案    C.

解析    我们熟知\[m^{k+4}\equiv m^k\pmod 4,\]其中 $m,k\in\mathbb N$,而在模 $4$ 的意义下,有\[(n+1)^{n+2}\equiv \begin{cases} 0,&n\equiv 1\pmod 2\\ 1,&n\equiv 0\pmod 2,\end{cases}\]于是 $\{a_n\}$ 是以 $10$ 为周期的数列,且前 $10$ 项为\[1,2,1,4,5,6,1,8,1,0,\]因此数列 $\{a_n\}$ 的前 $2018$ 项和为\[29\cdot 202-1=5857,\]其末位数字为 $7$.

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