已知椭圆$G:\dfrac{x^2}2+y^2=1$，与$x$轴不重合的直线$l$经过左焦点$F$，且与椭圆$G$相交于$A,B$两点，弦$AB$的中点为$M$，直线$OM$与椭圆$G$相交于$C,D$两点．
(1) 若直线$l$的斜率为$1$，求直线$OM$的斜率；
(2) 是否存在直线$l$，使得$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$成立？若存在，求出直线$l$的方程；若不存在，请说明理由．
已知函数$f(x)=x^2-2ax+4(a-1)\ln (x+1)$，其中实数$a<3$．
(1) 判断$x=1$是否为函数$f(x)$的极值点，并说明理由；
(2) 若$f(x)\leqslant 0$在区间$[0,1]$上恒成立，求$a$的取值范围．
已知实数$u,v,x,y$满足$u^2+v^2=1$，$\begin{cases} x+y-1\geqslant 0,\\ x-2y+2\geqslant 0,\\ x\leqslant 2,\end{cases}$则$ux+vy$的最大值是______．
(1) 已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右焦点为$F$，过$F$的直线交椭圆于$A,B$两点，点$C$是点$A$关于原点$O$的对称点，若$CF\perp AB$且$CF=AB$，则椭圆的离心率为_______；
(2) 已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右焦点为$F$，过$F$的直线交双曲线于$A,B$两点，点$C$是点$A$关于原点$O$的对称点，若$CF\perp AB$且$CF=FB$，则双曲线的离心率为_______．
已知过定点$A(-1,0)$的直线与抛物线$C:y^2=4x$交于$M,N$两点，$Q$是抛物线上不同于$M,N$的点，若直线$QM$恒过点$(1,-1)$，求证：直线$QN$也恒过定点并求出该定点的坐标．
已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)和直线$l:Ax+By=1$，$P$是直线$l$上一点，射线$OP$交椭圆于点$R$．又点$Q$在射线$OP$上且满足$|OP|\cdot |OQ|=|OR|^2$，当$P$在直线$l$上移动时，求点$Q$的轨迹方程．
已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow a+\overrightarrow b$的模均在区间$[1,3]$中，则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围为______．
已知$\displaystyle \prod_{k=1}^{45}\csc^2 (2k-1)^\circ =m^n$，其中$m,n\in\mathbb N^*$且$m,n\geqslant 2$，求$m+n$的值．（提示：有三倍角公式\(\sin 3x=4\sin x\cdot \sin(60^\circ-x)\cdot \sin(60^\circ +x)\)．)
已知函数$f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}$($x>0$)的图象恒在直线$y=kx$下方，求$k$的取值范围．
