Math173

已知正数 $x,y$ 满足 $2xy=\dfrac{2x-y}{2x+3y}$，那么 $y$ 的最大值是_______．

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已知函数 $f(x)={\log_a}x$，直线 $y=\dfrac{1}{\rm e}x$ 与函数 $f(x)$ 的图象相切．函数 $g(x)$ 为函数 $f(x)$ 的反函数．

（1）当 $x>0$ 时，若 $\dfrac{f(x)}{x}\leqslant k\leqslant \dfrac{g(x)}{x}$ 恒成立，求 $k$ 的最大值 $K_0$；

（2）对于 $(1)$ 中的 $K_0$，求证：$\dfrac{f(x)}{g(x)}<K_0^{-\frac{13}6}$．

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若对任意 $x\in D$，总有 $f(x)<F(x)<g(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $D$ 上的一个严格分界函数．

（1）求证：$y={\rm e}^x$ 是 $y=1+x$ 和 $y=1+x+\dfrac 12x^2$ 在 $(-1,0)$ 上的一个严格分界函数；

（2）函数 $h(x)=2{\rm e}^x+\dfrac{1}{1+x}-2$，若存在最大整数 $M$，使得 $h(x)>\dfrac{M}{10}$ 在 $x\in (-1,0)$ 恒成立，求 $M$ 的值．

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已知不等式 $\left(1+\dfrac 1n\right)^{n-a}\geqslant {\rm e}$ 对任意正整数 $n$ 都成立，试求实数 $a$ 的取值范围．

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已知直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 相切于点 $P$，$l$ 与双曲线的两条渐近线交于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值为（　　）

A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．以上答案都不对

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设函数 $f(x)=x^2+ax-\ln x$．

（1）若 $a=1$，试求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）令 $g(x)=\dfrac{f(x)}{{\rm e}^x}$，若函数 $g(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=-\dfrac a2x^2+(a-1)x+\ln x$．

（1）若 $a=-\dfrac 12$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）若 $a>1$，求证：$(2a-1)f(x)<3{\rm e}^{a-3}$．

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已知 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，且 $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy$，求所有满足条件的函数 $f(x)$．

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已知 $a\in(0,1)$，函数 $f(x)=x-\dfrac ax-(a+1)\ln x+a-1$，$g(x)=\dfrac{x+a}{x-1}\ln x$．

（1）求证：$f(x)$ 有 $2$ 个零点；

（2）当 $x\in (0,1)$ 时，求证：$g(x)$ 有最小值 $h(a)$，且 $0<h(a)<2$．

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已知函数 $f(x)=\ln (x+2a)-ax$，$a>0$．

（1）求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）记 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$，若 $a_2>a_1>0$ 且 $M(a_1)=M(a_2)$，求证：$a_1a_2<\dfrac 14$；

（3）若 $a>2$，记集合 $\{ x\mid f(x)=0\}$ 中的最大元素为 $x_0$，设函数 $g(x)=|f(x)|+x$，求证：$x_0$ 是 $g(x)$ 的极小值点．

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