每日一题[901]切割线放缩

求证：$(x-1){\rm e}^x-\ln x> -\dfrac 12$．

分析与证明　情形一 　$x\geqslant 1$．

此时利用切线放缩，有\[{\rm e}^x\geqslant x+1,\]于是\[\begin{split} LHS\geqslant &(x-1)(x+1)-\ln x\\>&(x-1)(x+1)-(x-1)\\=&x(x-1)>-\dfrac 12.\end{split} \]
情形二 　$0<x<1$．此时利用割线放缩，有\[{\rm e}^x<({\rm e}-1)x+1,\]于是\[\begin{split} LHS\geqslant &(x-1)\left[({\rm e}-1)x+1\right]-\ln x\\>&(x-1)\left[({\rm e}-1)x+1\right]-(x-1)\\=&({\rm e}-1)x(x-1)\\\geqslant &-\dfrac{{\rm e}-1}4\\>&-\dfrac 12.\end{split} \]
综上所述，原不等式得证．

注　使用割线处理情形一更加简单．

另法　可以证明\[(x-1){\rm e}^x-\dfrac 12x^2>-1>\ln x-\dfrac 12x^2-\dfrac 12.\]