每日一题[898]寻找不等关系

已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow a+\overrightarrow b$的模均在区间$[1,3]$中,则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围为______.


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正确答案是$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$.

分析与解 注意到\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac{\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)^2-\overrightarrow a^2-\overrightarrow b^2}{2}\geqslant \dfrac{1^2-3^2-3^2}{2}=-\dfrac{17}2,\]等号当$\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=3$,$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=1$时取得.因此$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的最小值为$-\dfrac{17}2$.

另一方面,由\[\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)^2\geqslant 0,\]有\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leqslant \left(\dfrac{\overrightarrow a+\overrightarrow b}2\right)^2\leqslant \dfrac 94,\]等号当$\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=\dfrac 32$,$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=3$时取得.因此$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的最大值为$\dfrac 94$.

综上所述,结合连续性,可得$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的取值范围是$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$.

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