每日一题[903]规划规划

已知实数$u,v,x,y$满足$u^2+v^2=1$,$\begin{cases} x+y-1\geqslant 0,\\ x-2y+2\geqslant 0,\\ x\leqslant 2,\end{cases}$则$ux+vy$的最大值是______.


正确答案是$2\sqrt 2$.

分析与解 如图,点$(x,y)$所在的区域都在以原点为圆心,过点$(2,2)$的圆内,于是\[ux+vy\leqslant \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}\leqslant 1\cdot 2\sqrt 2=2\sqrt 2,\]等号当$(x,y)=(2,2)$且$(u,v)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$时取得.因此所求的最大值为$2\sqrt 2$.

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