每日一题[905]曲线上的四点共圆

已知椭圆$G:\dfrac{x^2}2+y^2=1$,与$x$轴不重合的直线$l$经过左焦点$F$,且与椭圆$G$相交于$A,B$两点,弦$AB$的中点为$M$,直线$OM$与椭圆$G$相交于$C,D$两点.

(1) 若直线$l$的斜率为$1$,求直线$OM$的斜率;

(2) 是否存在直线$l$,使得$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$成立?若存在,求出直线$l$的方程;若不存在,请说明理由.


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分析与解 (1) 根据椭圆的垂径定理,可得\[k_{OM}\cdot k_{AB}=-\dfrac 12,\]于是直线$OM$的斜率为$-\dfrac 12$.

(2) 若$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$,则$A,B,C,D$四点共圆,因此$k_{AB}+k_{CD}=0$,从而直线$l$的斜率为$\pm \dfrac{\sqrt 2}2$,进而其方程为\[y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}(x+1).\]

类似问题见每日一题[839]曲线系证共圆每日一题[2]二次曲线上的四点共圆

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