已知椭圆$G:\dfrac{x^2}2+y^2=1$，与$x$轴不重合的直线$l$经过左焦点$F$，且与椭圆$G$相交于$A,B$两点，弦$AB$的中点为$M$，直线$OM$与椭圆$G$相交于$C,D$两点．
(1) 若直线$l$的斜率为$1$，求直线$OM$的斜率；
(2) 是否存在直线$l$，使得$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$成立？若存在，求出直线$l$的方程；若不存在，请说明理由．
分析与解 (1) 根据椭圆的垂径定理，可得\[k_{OM}\cdot k_{AB}=-\dfrac 12,\]于是直线$OM$的斜率为$-\dfrac 12$．
(2) 若$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$，则$A,B,C,D$四点共圆，因此$k_{AB}+k_{CD}=0$，从而直线$l$的斜率为$\pm \dfrac{\sqrt 2}2$，进而其方程为\[y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}(x+1).\]