每日一题[900]抛物线的平均性质

已知过定点$A(-1,0)$的直线与抛物线$C:y^2=4x$交于$M,N$两点,$Q$是抛物线上不同于$M,N$的点,若直线$QM$恒过点$(1,-1)$,求证:直线$QN$也恒过定点并求出该定点的坐标.


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分析与解 设$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$,$Q(x_3,y_3)$,则根据抛物线的平均性质,有$y_1y_2=4$.而\[\begin{aligned}QM:4x=(y_1+y_3)y-y_1y_3,\\ QN:4x=(y_2+y_3)y-y_2y_3,\end{aligned}\]由于直线$QM$恒过点$(1,-1)$,于是\[y_1+y_3+y_1y_3+4=0.\]将$y_2=\dfrac{4}{y_1}$代入$QN$的方程,得\[4x=\left(\dfrac 4{y_1}+y_3\right)y-\dfrac{4}{y_1}y_3,\]可整理得\[xy_1+y_3-\dfrac y4y_1y_3-y=0,\]因此直线$QN$恒过定点$(1,-4)$.

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