每日一题[902]挖掘长度关系

(1) 已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右焦点为$F$,过$F$的直线交椭圆于$A,B$两点,点$C$是点$A$关于原点$O$的对称点,若$CF\perp AB$且$CF=AB$,则椭圆的离心率为_______;

(2) 已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右焦点为$F$,过$F$的直线交双曲线于$A,B$两点,点$C$是点$A$关于原点$O$的对称点,若$CF\perp AB$且$CF=FB$,则双曲线的离心率为_______.


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正确答案是(1)$\sqrt 6-\sqrt 3$;(2)$\dfrac{\sqrt{10}}2$.

分析与解 先考虑(1)设左焦点为$F'$,$AF=x$,则直角$\triangle F'AB$的三边都可以用$a,x$表示,分别为$$2a-x,2a-x,2x,$$于是有$2x=\sqrt 2(2a-x)$,解得$x=2a(\sqrt 2-1)$,从而有$$4c^2=x^2+(2a-x)^2=4a^2\cdot(9-6\sqrt 2),$$得到离心率的值.

(2)与(1)类似,在直角$\triangle F'AB$中,有$$(2a+x)^2+(2a+2x)^2=(4a+x)^2\Rightarrow x=a.$$

注 也可以利用焦点弦的调和平均性质列出方程组计算.

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