Math173

已知函数$f(x)=\mathrm{e}^x+x^2-x$，$g(x)=x^2+ax+b$，其中$a,b$均为实数．
(1) 当$a=1$时，求函数$F(x)=f(x)-g(x)$的单调区间；
(2) 若曲线$y=f(x)$在点$(0,1)$处的切线$l$与曲线$y=g(x)$切于点$(1,c)$，求$a,b,c$的值；
(3) 若$f(x)\geqslant g(x)$恒成立，求$a+b$的最大值．

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已知两个集合$A,B$满足$B\subseteq A$．若对任意$x\in A$，存在$a_i,a_j\in B\ \left(i\ne j\right)$，使得\[x=\lambda_1a_i+\lambda_2a_j\ \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right),\]则称$B$为$A$的一个基集．若$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$，则其基集$B$的元素个数的最小值是_______．

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给定正整数$n$，已知用克数都是正整数的$k$块砝码和一台天平，可以称出质量为$1,2,3,\cdots,n$克的所有物品．求$k$的最小值$f(n)$．

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设$P$为曲线$C_1$上的动点，$Q$为曲线$C_2$上的动点，则称$|PQ|$的最小值为曲线 $C_1,C_2$之间的距离，记作$d\left(C_1,C_2\right)$．
(1)若\[C_1:x^2+y^2=2,\ C_2:(x-3)^2+(y-3)^2=2,\]则$d\left(C_1,C_2\right)=$_______；
(2)若\[C_3:\mathrm{e}^x-2y=0,\ C_4:\ln x+\ln 2=y,\]则$d\left(C_3,C_4\right)=$_______．

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中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”的六场传统文化知识竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为$a,b,c$，其中$a>b>c$且$a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为$26$分，乙和丙最后得分都为$11$分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是(　　)
A．$a=4$
B．甲可能有一场比赛获得第二名
C．乙有四场比赛获得第三名
D．丙可能有一场比赛获得第一名

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已知函数\[f(x)=\begin{cases}\log_ax,&x>0,\\|x+3|,&-4 \leqslant x<0,\end{cases}\]其中$a>0$且$a\ne 1$．若函数$f(x)$的图象上有且只有一对点关于$y$轴对称，则$a$的取值范围是______．
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设集合\[A_{2n}=\{1,2,3,\cdots,2n\}\ \left(n\in \mathbb{N}^{*},n\geqslant 2\right).\]如果对于$A_{2n}$的每一个含有$m\ (m\geqslant 4)$个元素的子集$P$，$P$中必有$4$个元素的和等于$4n+1$，则称正整数$m$为集合$A_{2n}$的一个“相关数”．

(1) 当$n=3$时，判断$5$和$6$是否为集合$A_6$的“相关数”，说明理由；
(2) 若$m$为集合$A_{2n}$的“相关数”，证明：$m-n-3\geqslant 0$；
(3) 给定正整数$n$，求集合$A_{2n}$的“相关数”$m$的最小值．

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已知函数$f(x)=\left(x^2+ax-a\right)\cdot{\rm e}^{1-x}$，其中$a\in\mathbb R$．
(1)求函数$f'(x)$的零点个数；
(2)证明：$a\geqslant 0$是函数$f(x)$存在最小值的充分不必要条件．

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在平面直角坐标$xOy$中，抛物线$C$的顶点是原点，以$x$轴为对称轴，且经过点$P(1,2)$．
(1) 求抛物线$C$的方程；
(2) 设点$A,B$在抛物线$C$上，直线$PA,PB$分别与$y$轴交于点$M,N$，$|PM|=|PN|$，求直线$AB$的斜率．

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