已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac 12x^2-2ax$，其中 $a\in \mathbb R$．
（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（2）已知函数 $g(x)=\dfrac{m\ln x}x+m$，其中 $m>0$，若对任意 $a\in\left[\dfrac 12,1\right]$，存在 $x_1,x_2\in [1,{\rm e}]$，使得 $\left|f(x_1)-g(x_2)\right|<1$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．
每日一题[1156]任意与存在的纠缠
每日一题[1155]抛物线的几何性质
已知过抛物线 $C:y^2=2px$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $P$ 点，若 $\overrightarrow{PA}=\lambda \overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{PB}=\mu \overrightarrow{BF}$，则 $\lambda+\mu$ 的值是________．
每日一题[1154]深度挖掘
已知 $n$ 是一个不小于 $2$ 的正整数，$c$ 是实数，且对任意 $x_i\geqslant 0$（$i=1,2,\cdots,n$）均有\[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\leqslant c\cdot \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^4.\]
（1）求实数 $c$ 的最小值；
（2）当 $c$ 取最小值时，指出等号成立的充要条件．
每日一题[1153]正弦型函数的图象
已知 $f(x)=\sin \omega x-\cos \omega x$，其中 $\omega >\dfrac 14$，$x\in\mathbb R$，若 $f(x)$ 的任何一条对称轴与 $x$ 轴交点的横坐标都不属于区间 $(2\pi ,3\pi)$，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[\dfrac 38,\dfrac{11}{12}\right]\cup\left[\dfrac{11}8,\dfrac{19}{12}\right]$
B．$\left(\dfrac 14,\dfrac{5}{12}\right]\cup\left[\dfrac{5}8,\dfrac{3}{4}\right]$
C．$\left[\dfrac 38,\dfrac{7}{12}\right]\cup\left[\dfrac{7}8,\dfrac{11}{12}\right]$
D．$\left(\dfrac 14,\dfrac{3}{4}\right]\cup\left[\dfrac{9}8,\dfrac{17}{12}\right]$
每日一题[1152]步步为营
已知函数 $f(x)=\ln x+({\rm e}-a)x-2b$，若不等式 $f(x)\leqslant 0$ 对 $x\in (0,+\infty)$ 恒成立，则 $\dfrac ba$ 的最小值等于________．
每日一题[1151]三角恒等式的化简
在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 满足 $\dfrac 1{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}=\dfrac{2}{\cos C} $，则 $ \cos C$ 的最大值是________．
每日一题[1150]函数的性质
已知函数 $f(x)=-\dfrac{2x}{1+|x|},x\in\mathbb R$，区间 $M=[a,b]$，集合 $N=\{y\mid y=f(x),x\in M\}$．若 $M=N$，则 $b-a$ 的值是________．
每日一题[1148]大胆假设 小心求证
设 $x,y,z$ 为非负实数，满足 $x+y+z=1$，则 $\dfrac1{2+x^2}+\dfrac1{2+y^2}+\dfrac1{2+z^2}$ 的取值范围是______．
每日一题[1147]向量中的动点
在面积为 $2$ 的平行四边形 $ABCD$ 中，点 $P$ 为直线 $AD$ 上的动点，则 $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+BC^2$ 的最小值是______．