设函数 $f_n(x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot x^n}{n}-\ln (1+x),n\in\mathbb N^{\ast}$．
（1）判断 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内的单调性；
（2）求最大的整数 $\alpha$，使得 $|f_n(x)|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ 对所有 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 及 $x\in (0,1)$ 都成立．
每日一题[1166]焦半径公式
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 $B,C$，且 $|BC|=|CF_2|$，则双曲线的离心率为_______．
每日一题[1165]两边夹
已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$\forall x,y\in \mathbb R,f\left(x^2+2y\right)+2y\geqslant f\left(x^2+3y\right)$，且 $f(100)=100$，则 $f(200)=$_______．
每日一题[1164]半角定理
在 $\triangle ABC$ 中，$AC=5$，$\dfrac {1}{\tan \dfrac A2}+\dfrac {1}{\tan \dfrac C2}-\dfrac {5}{\tan \dfrac B2}=0$，则 $BC+AB=$ _______．
每日一题[1163]隐藏的定值
已知 $P$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上一点，且不在坐标轴上，$A(1,0)$ 和 $B(0,1)$ 是坐标轴上的两点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，则 $|AN|+2|BM|$ 的最小值为_______．
每日一题[1162]重新组合
已知 $a_1,a_2,\cdots,a_9$ 为 $1,2,\cdots,9$ 的任意一个排列，则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为_______．
每日一题[1161]构造图形
已知 $a,b,c$ 是正实数 $a,b,c$ 且满足 $\begin{cases}a^2+b^2=3,\\ a^2+c^2+ac=4,\\ b^2+c^2+\sqrt 3 bc=7,\end{cases}$ 求 $(a,b,c)$．
每日一题[1160]利用参数叙述
已知右焦点为 $F$ 的椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}3=1$（$a>\sqrt 3$）与直线 $y=\dfrac{3}{\sqrt 7}$ 相交于 $P,Q$ 两点，且 $PF\perp QF$．
（1）求椭圆 $M$ 的方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点，$A,B,C$ 是椭圆 $E$ 上不同的三点，并且 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，试探究 $\triangle ABC$ 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
每日一题[1159]水来土掩
设函数 $f(x)=x^2-ax+b$，其中 $a,b$ 为实数．
（1）当 $a=2$ 时，记函数 $|f(x)|$ 在 $[0,4]$ 上的最大值为 $g(b)$，求 $g(b)$ 的最小值；
（2）存在实数 $a$，使得当 $x\in [0,b]$ 时，$2\leqslant f(x)\leqslant 6$ 恒成立，求 $b$ 的最大值及此时 $a$ 的值．
每日一题[1158]一较高下
若实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，则 $3ab-3bc+2c^2$ 的最大值为______．