每日一题[1054]正弦型函数

已知函数 \(f(x)=\sqrt 2a\sin\left(\omega\pi x+\varphi\right)\) 其中 \(a,\omega>0\),\(|\varphi|\leqslant \dfrac {\pi}2\),直线 \(y=a\) 与 \(f(x)\) 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是 \(2\) 和 \(4\),现有如下命题:

① 该函数在 \([2,4]\) 上的值域是 \(\left[a,\sqrt 2a\right]\);
② 在 \([2,4]\) 上,函数在 \(x=3\) 处取得最大值;
③ 该函数的最小正周期可以是 \(\dfrac 83\);
④ 函数 \(f(x)\) 的图象可能过原点.
上述命题中,正确的命题是__________.


cover正确答案是①②.

分析与解     根据题意,有\[\sin(2\omega\pi+\varphi)=\sin(4\omega\pi+\varphi)=\dfrac{\sqrt 2}2,\]因此\[\begin{cases}2\omega\pi +\varphi=2k\pi+\dfrac{\pi}4,\\4\omega\pi+\varphi=2k\pi+\dfrac{3\pi}4,\end{cases}\]或\[\begin{cases}2\omega\pi +\varphi=2k\pi+\dfrac{3\pi}4,\\4\omega\pi+\varphi=2k\pi+\dfrac{9\pi}4,\end{cases}\]其中 \(k\in\mathbb Z\).作差可得 \(\omega=\dfrac 14\) 或 \(\omega=\dfrac 34\),对应的最小正周期分别为 \(8\) 或 \(\dfrac 83\),此时对应的 \[\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 14,-\dfrac{\pi}4+2k\pi\right)\] 或 \[\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 34,-\dfrac{3\pi}4+2k\pi\right).\]其中 \(k\in\mathbb Z\).由于题中要求 \(\left|\varphi\right|\leqslant \dfrac{\pi}2\),于是只能是 \(\left(\omega,\varphi\right)=\left(\dfrac 14,-\dfrac{\pi}4\right)\).
据此可以判断命题①② 正确,命题③④错误.

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