每日一题[1061]信手拈来

过点 \(A(-4,0)\) 向椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 引两条切线,切点分别为 \(B,C\),若 \(\triangle ABC\) 为正三角形,则当 \(ab\) 最大时,椭圆的方程是____________.


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正确答案是\(\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1\).

分析与解 法一
根据题意,其中一条切线方程为 \(x+\sqrt 3y+4=0\),于是根据等效判别式\[a^2+3b^2=16,\]于是\[16=a^2+3b^2\geqslant 2\sqrt 3 ab,\]等号当且仅当 \(\left(a^2,b^2\right)=\left(8,\dfrac 83\right)\) 时取得,因此所求椭圆的方程为 \(\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1\).
法二
根据题意,其中一条切线方程为 \(x+\sqrt 3y+4=0\),设对应切点为 \((a\cos\theta,b\sin\theta)\),且 \(\theta\in[0,2\pi)\),则\[a\cos\theta+\sqrt 3b\sin\theta+4=0\]有唯一解,因此\[a^2+3b^2=16,\]于是\[16=a^2+3b^2\geqslant 2\sqrt 3 ab,\]等号当且仅当 \(\left(a^2,b^2\right)=\left(8,\dfrac 83\right)\) 时取得,因此所求椭圆的方程为 \(\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1\).
法三 
点 \(A(-4,0)\) 对椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的双切线方程为\[\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1\right)\left(\dfrac{16}{a^2}-1\right)-\left(\dfrac{-4x}{a^2}-1\right)^2=0,\]即\[\dfrac{16-a^2}{b^2}\cdot y^2=\left(x+4\right)^2,\]根据题意,两条切线的斜率分别为 \(\pm\dfrac{\sqrt 3}3\),于是有\[\dfrac{16-a^2}{b^2}=3,\]即\[16=a^2+3b^2\geqslant 2\sqrt 3 ab,\]等号当且仅当 \(\left(a^2,b^2\right)=\left(8,\dfrac 83\right)\) 时取得,因此所求椭圆的方程为 \(\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1\).

备注 也可以由切点弦方程为$\dfrac{-4x}{a^2}=1$,即$x=-\dfrac{a^2}4$.

代入椭圆方程解得$y^2=b^2\left(1-\dfrac{a^2}{16}\right)$.从而由$-\dfrac{a^2}4-(-4)=\sqrt 3|y|$得$$\left(4-\dfrac{a^2}4\right)^2=3b^2\left(1-\dfrac{a^2}{16}\right),$$得到$a^2+3b^2=16$.

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