已知函数 \(f(x)=ax^2+2x+1\)，若对任意 \(x\in\mathbb R\)，都有 \(f(f(x))\geqslant 0\) 恒成立，则实数 \(a\) 的取值范围是________．
正确答案是\(\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,+\infty\right)\)．
分析与解 显然 \(a>0\)，否则当 \(x\to -\infty\) 时，有 \(f(f(x))\to -\infty\)，不符合题意．当 \(a>0\) 时，函数 \(f(x)\) 的值域为 \(\left[\dfrac{a-1}{a},+\infty\right)\)．
根据题意，对函数 \(f(x)\) 值域中的任意一个数 \(t\)，都有 \(f(t)\geqslant 0\)，因此或者 \(f(x)\) 没有零点，或者 \(f(x)\) 的较大零点不超过 \(\dfrac{a-1}{a}\)，也即\[4-4a<0\]或\[\begin{cases} 4-4a>0,\\ \dfrac{-2+\sqrt{4-4a}}{2a}\leqslant \dfrac{a-1}a,\end{cases}\]解得实数 \(a\) 的取值范围是 \(\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,+\infty\right)\)．
注 也可以根据对称轴 $x=-\dfrac 1a<\dfrac{a-1}{a}$ 知 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{a-1}a,+\infty\right)$ 上单调递增，于是 $f\left(\dfrac{a-1}a\right)\geqslant 0$ 即可，解得 $a\geqslant \dfrac{\sqrt 5-1}2$．