每日一题[1058]二次复二次

已知函数 \(f(x)=ax^2+2x+1\),若对任意 \(x\in\mathbb R\),都有 \(f(f(x))\geqslant 0\) 恒成立,则实数 \(a\) 的取值范围是________.


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正确答案是\(\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,+\infty\right)\).

分析与解    显然 \(a>0\),否则当 \(x\to -\infty\) 时,有 \(f(f(x))\to -\infty\),不符合题意.当 \(a>0\) 时,函数 \(f(x)\) 的值域为 \(\left[\dfrac{a-1}{a},+\infty\right)\).

根据题意,对函数 \(f(x)\) 值域中的任意一个数 \(t\),都有 \(f(t)\geqslant 0\),因此或者 \(f(x)\) 没有零点,或者 \(f(x)\) 的较大零点不超过 \(\dfrac{a-1}{a}\),也即\[4-4a<0\]或\[\begin{cases} 4-4a>0,\\ \dfrac{-2+\sqrt{4-4a}}{2a}\leqslant \dfrac{a-1}a,\end{cases}\]解得实数 \(a\) 的取值范围是 \(\left[\dfrac{\sqrt 5-1}2,+\infty\right)\).

    也可以根据对称轴 $x=-\dfrac 1a<\dfrac{a-1}{a}$ 知 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{a-1}a,+\infty\right)$ 上单调递增,于是 $f\left(\dfrac{a-1}a\right)\geqslant 0$ 即可,解得 $a\geqslant \dfrac{\sqrt 5-1}2$.

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